Общий случай задачи трех тел

11. Перейдем к общему случаю задачи трех тел. Пусть треугольник, образованный тремя телами; с — стороны этого треугольника; массы трех тел.

Силовая функция запишется в виде

Будем обозначать силовую функцию через где некоторая по стоянная, которую мы более полно определим позднее.

Я буду предполагать, что центр тяжести системы трех тел неподвижен и обозначу через центр тяжести системы двух тел .

Я буду рассматривать две системы подвижных осей.

Первая система, оси которой всегда параллельны неподвижным осям, имеет своим началом точку А.

Вторая система, также с осями, параллельными неподвижным осям, имеет своим началом точку

Я обозначу через координаты точки В относительно первых подвижных осей и через координаты точки С относительно второй системы подвижных осей. Полная живая сила системы будет тогда иметь вид

(см. Tisserand. Mecanique celeste, chap. IV) [5]; если мы положим

то уравнения примут канонический вид

Снова рассмотрим функцию

определенную уравнениями (5) из п. 8.

Сначала построим ее, взяв

Положим затем

Построим затем эту же функцию приняв

обозначим таким образом построенную функцию

и положим

Пусть затем

Производными Б по будут соответственно

Если, кроме того, положим

то уравнения (1), (2) и (3) будут определять двенадцать старых переменных х и у как функции двенадцати новых переменных, которые я разделю на два ряда следующим образом:

Тогда из теорем пунктов 4 и 7 следует, что канонический вид уравнений не изменится.

Легко дать себе отчет в значении этих новых переменных.

Все происходит так, как будто две массы, равные соответственно имеют по отношению к неподвижным осям координаты: первая — вторая — и как будто эти фиктивные массы подвержены действию сил, допускающих силовую функцию

Тогда если бы в некоторый момент силы, приложенные к первой фиктивной массе, исчезли и были заменены притяжением массы помещенной в начале координат, эта масса двигалась бы по закону Кеплера и элементами этого кеплеровского движения были .

Точно так же, если бы вторая фиктивная масса была подвержена лишь притяжению неподвижной массы расположенной в начале координат, элементами кеплеровского движения были бы и 0.

Заметим, что зависит не только от переменных (4), но и от

Вообще, будут очень малы, так что можно положить

где мало и — чаще всего конечные величины. Тогда функцию которую можно рассматривать как функцию переменных (4) и можно будет с пользой для дела разложить в ряд по возрастающим степеням

Если положить получим

и

причем больше не зависит ни от одной переменной второго ряда . Добавим еще, что каково бы ни было является периодической функцией периода по отношению к этим переменным второго ряда.

Остановимся вкратце на некоторых частных случаях. Если три тела остаются постоянно в плоскости то мы имеем зависит лишь от , так что мы будем иметь только четыре пары сопряженных переменных

как было сказано в п. 10.

12. Вернемся к обозначениям и уравнениям этого пункта. Я представляю эти уравнения в новой форме, которая будет нам полезна в дальнейшем.

Рассмотрим сначала частный случай, когда наклонения равны нулю и три тела движутся в одной плоскости.

Полагаем

Получаем

Таким образом, мы видим, что новые переменные также сопряжены и, следовательно, замена переменных (1) не изменяет канонического вида уравнений.

Перейдем теперь к общему случаю и вернемся снова к обозначениям п. 11.

Положим

Можно убедиться, как это делалось выше, что эта замена переменных (2) не нарушает канонической формы уравнений.

Эта каноническая форма не изменится также, в силу замечания п. 6, если мы произведем замену

Уравнения остаются каноническими, а два ряда сопряженных переменных будут следующие:

Вот какое преимущество может дать выбор переменных (4).

Функция выраженная через эти переменные, разложима как по степеням переменных так и по синусам и косинусам углов, кратных , причем коэффициенты зависят некоторым образом от .

Действительно, по определению предыдущих переменных имеем

Отсюда вытекает:

1. Н разложимо по степеням причем первый член разложения содержит ;

2. разложимо по степеням Н, причем первый член содержит

3. разложимо по степеням

4. разложимо по степеням ;

5. разложимо по степеням и, следовательно, по степеням .

Но мы имеем

Значит разложимы по степеням также разложимы по степеням

Но вид разложения возмущающей функции хорошо известен. Она разложима по возрастающим степеням эксцентриситетов и наклонений и по косинусам углов, кратных ; при этом каждый член разложения имеет следующий вид (Тisserand. Mecanique celeste, t. 1, p. 307):

где — целые положительные или равные нулю числа некоторые целые числа. Кроме того, имеем

и, с другой стороны,

Из этого можно заключить, что возмущающая функция разложима по степеням

и, следовательно, по степеням

Кроме того, можно заметить, что разложения

содержат лишь четные степени переменных (5); отсюда заключаем, что разложение функции будет иметь следующий вид:

где коэффициент, зависящий лишь от и .

Числа целые, положительные или нули, сумма которых

равна четное положительное число или нуль.

Я оставил в выражении (6) двойной символ или косинус надо брать, когда сумма

четная и синус — в противном случае.

Отсюда следует, что функция не изменяется, когда изменяют одновременно знак она не изменяется также, когда заменяют на в то же время изменяют знак

Функция обладает другим свойством, на которое необходимо обратить внимание: она не изменяется, когда меняют одновременно знак