Глава XII. ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ОРБИТ С МАЛЫМИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАМИ

Трудность задачи

142. Имеется ряд случаев, когда применение методов, изложенных а предыдущей главе, может натолкнуться на определенные трудности: это те случаи, когда эксцентриситеты очень малы. Понять, как здесь обстоит дело, можно следующим образом.

Я полагаю, что существо этих трудностей мы поймем лучше на простом примере, гораздо более простом, чем задача трех тел.

Пусть

где малый параметр, А — некоторая константа, — две пары сопряженных переменных.

Рассмотрим канонические уравнения

Как мы увидим несколько ниже, эти уравнения весьма просто проинтегрировать до конца. Однако прежде я хочу перегруппировать их аналогично уравнениям задачи трех тел.

В п. 137 мы видели, что уравнения указанной задачи после нескольких замен переменных можно было привести к канонической форме, причем сопряженными переменными являются

Кроме того, функция допускала разложение по степеням

и была периодична по и наконец, функция зависела от . Функция определенная в начале этого пункта, обладает аналогичными свойствами: переменная Л играет роль , переменная роль роль переменных и — роль Очевидно, что можно разлагать по степеням

и что при она равна .

Таким образом, аналогия очевидна. Предположим, что нам потребовалось бы применить к этому уравнению метод предыдущей главы, т. е. попытаться проинтегрировать уравнение с частными производными

С — постоянная интегрирования. Речь идет о том, чтобы найти такое решение уравнения (2), которое можно было бы разлагать по степеням и такое, чтобы производные были периодичны по А и . Для этого положим

в новых переменных уравнение (2) запишется в виде

Пусть — постоянная интегрирования. Введем обозначения

Нашему уравнению мы удовлетворим, выбрав

Определенная таким образом функция S удовлетворяет всем условиям задачи, если только радикал

авлагается по степеням Но такое разложение возможно, когда

и сходится оно достаточно быстро, если параметр мал по сравнению с

Если мы захотим провести сравнение с задачей трех тел, то увидим, что У представляет собой величину, аналогичную той, которую мы в предыдущей главе обозначили Поэтому мы считаем, что ее порядок равен квадрату эксцентриситетов. Если оба параметра и малы, то можно было бы попытаться разложить S по степеням и У. Подобное разложение невозможно, ибо радикал

разложим лишь по степеням (в силу того, что В зависит от

Если же параметр У настолько мал, что становится сравнимым с то метод предыдущей главы становится непригодным.

143. Нетрудно видеть, что аналогичная трудность возникает и в задаче трех тел.

В самом деле, рассмотрим еще раз эту задачу в том виде, как она сформулирована в предыдущей главе. Сопряженными переменными будут

Функция формально удовлетворяющая уравнению с частными производными

которая была определена в предыдущей главе, зависит от констант последние из этих констант, вообще говоря, в приложениях являются малыми величинами порядка квадрата эксцентриситетов. Поэтому мы можем положить

где некоторая константа порядка эксцентриситетов, конечные константы. Если пока мы будем считать константы заданными, то S будет зависеть от трех произвольных постоянных

Можно спросить, будет ли функция S разлагаться по степеням

Если бы такое разложение существовало, то решение, построенное в предыдущей главе, можно было бы использовать при сколь угодно малом параметре т. е. при любых эксцентриситетах.

Однако, как мы сейчас увидим и как можно было бы предвидеть исходя из приведенного выше (п. 142) примера, такое разложение невозможно. Функция допускает разложение только по степеням Отсюда следует, что метод, о котором шла речь, оказывается применимым, если

только параметр мал. В нашем случае этот параметр не будет малым несмотря на то, что массы малы, если эксцентриситеты имеют тот же порядок, что и массы.

Вернемся к уравнению

которое я для краткости запишу в виде

В п. 139 мы видели, что это уравнение допускает частное решение, которое мы обозначили : следовательно,

где С — некоторая константа.

Положим теперь

тогда

Левую часть уравнения (3) можно разложить по степеням Я говорю а не Действительно, содержит члены нечетной степени относительно Однако связанные с

соотношениями

которые были найдены в пунктах 138 и 141, разлагаются по степеням и, следовательно, по степеням Поэтому величины и, следовательно, будут разлагаться по степеням Кроме того, я замечу, что если параметр имеет порядок эксцентриситетов, то величина будет конечной.

В самом деле, если обращается в нуль, то становится равной . Но как мы уже видели, это частное решение соответствует тому случаю, когда величины равны нулю. В приложениях не равны нулю, а являются весьма малыми величинами порядка квадрата эксцентриситетов. Ввиду этого разность также будет порядка квадрата эксцентриситетов, т. е. порядка

Введем для краткости обозначение

Тогда, вычитая из равенства (3) равенство (2), получим

где К — новая константа, равная .

будет разлагаться по возрастающим степеням так что

Кроме того, периодична по Среднее значение функции я обозначу

Поскольку 2 разлагается по степеням

функция также будет разлагаться по степеням

и очевидно, что

Следовательно,

Функция зависит лишь от Если в вместо S подставить то будет разлагаться по степеням

откуда следует, что разности

делятся на и при этом не зависят от Из этого вытекает прежде всего, что разлагается по положительным возрастающим степеням

Наоборот, поскольку разложение функции содержит члены первого порядка по функция будет разлагаться не по степеням а по степеням Разложение разности

будет начинаться с члена, содержащего в первой степени.

Следовательно, разлагается по возрастающим степеням но разложение этой функции начинается с члена

Заметим теперь, что является функцией, периодической по и постараемся найти ее среднее значение

Среднее значение функции по определению равно . Если вместо S подставить то среднее значение не изменится и запишется в виде Неизменность среднего значения основана на том, что производные

равны соответственно

и не зависят от и Наоборот, если бы эти производные зависели периодически от то рассматриваемое среднее значение можно было изменить с помощью указанной подстановки.

С другой стороны, среднее значение разности

не зависит ни от ни от поскольку не зависит от этих величин. Кроме того, оно разлагается по положительным возрастающим степеням

Точно так же разлагается по положительным возрастающим степеням поскольку исходное разложение по степеням (в отличие от исходного разложения для не содержало членов нечетного порядка и, в частности, членов первого порядка. Следовательно,

так что разлагается по положительным возрастающим степеням Коэффициенты разложения по возрастающим степеням

определяются рекуррентными формулами, которые можно найти методами предыдущей главы.

Поскольку периодическая функция по я запишу

где периодическая функция с нулевым средним значением, не зависит от и

Обозначим для краткости

Функция должна зависеть от

а функция от

Буква S означает суммирование либо по различным парам сопряженных переменных и либо по двум парам сопряженных переменных

Правые и левые части соотношений (5) разлагаются по возрастающим степеням однако левые части этих соотношений содержат лишь положительные степени, в то время как их правые части содержат и отрицательные. Еще до того как в и подставлены вычисленные с помощью рекуррентных соотношений производные от разложения и Уже содержат члены с поскольку, как мы видели выше, такие члены содержит разложение функции Отсюда следует, что разложение по возрастающим степеням должно начинаться с некоторой отрицательной степени Следовательно, если в вместо производных подставить их разложения по степеням то и будут разлагаться по степеням однако их разложение вместо того, чтобы начинаться с члена порядка будет начинаться с члена порядка где целое положительное число.

Показатель степени, с которым входит в первый член разложения будет возрастать вместе с

Отсюда следует, что если эксцентриситеты очень малы, то можно опасаться появления в очень больших членов. Как мы уже видели, эта трудность проистекает из-за наличия членов с в разложении а эти члены обусловлены тем, что функция содержала члены первого порядка относительно либо

Посмотрим теперь, не является ли эта трудность, существо которой нам помог постичь пример, приведенный в предыдущем пункте, чисто искусственной и нельзя ли обойти ее с помощью какого-нибудь остроумного приема.