Преобразования уравнений

112. Вернемся к случаю, когда имеются лишь две степени свободы и снова рассмотрим уравнения (14) из п. 110.

Пусть Ф — функция, которая, так же как и разлагается в ряд по степеням и причем каждый из ее коэффициентов веществен, положителен и больше по абсолютной величине, чем коэффициент при соответствующем члене в все члены Ф, кроме того, будут, как и члены по меньшей мере второй степени по 0. Заметим, что число

положительное, отрицательное или равное нулю целое число, положительное целое число, не меньшее единицы) всегда по абсолютной величине больше единицы, каковы бы ни были и а. Но числа, играющие роль делителей (5) из п. 105, разделенные на а, имеют в точности такой вид.

Построим теперь уравнения

аналогичные уравнениям из п. 105,

Из уравнения (14) можно получить 0 в виде рядов по степеням аналогичных рядам (4) из п. 104. Из уравнений (15) можно получить 0 в виде рядов по степеням тех же переменных, что и ряды из п. 105. Каждый из членов этих последних рядов положителен и больше по

абсолютной величине, чем соответствующий член первых рядов итак, если они сходятся, то сходятся и ряды, полученные из уравнений (14).

Но легко видеть, что можно найти число не зависящее от а. такое, что если то ряды, полученные из (15), сходятся.

Из этого следует, что ряды по степеням полученныеиз (14), сходятся равномерно, как бы мало ни было как я уже говорил ранее. Это рассуждение во всем подобно рассуждению , причем функция играет роль а — роль потому что делители (5) имеют вид следовательно, превосходят а по абсолютной величине.

Теперь мы имеем 0 в виде рядов по степеням и коэффициенты - известные функции а. Если разложить каждый из этих коэффициентов в ряд по степеням а, то мы получим 0 в виде рядов по степеням а. Полученные таким образом ряды расходятся, как мы уже видели ранее; пусть, однако,

— эти ряды.

Положим

Положим

приравнивая первым членам рядов (16) плюс дополнительный член

Если в заменить их разложениями (17), то разлагаются в ряд по степеням а и можно записать

где 0 не зависят от разлагаются в ряды по степеням а.

Тогда мы будем иметь уравнения

и затем

Вот каков вид функции величины можно рассматривать как известные функции определенные уравнениями (18) и уравнением (20), которое я напишу ниже, в то время как остаются неизвестными функциями. Тогда функция разложена в ряд по степеням Кроме того, любой член степени по имеет по меньшей мере степень по а. Действительно, и, следовательно, разлагаются по степеням и, следовательно, по степеням и Следовательно, любой член степени по будет делиться на и на в

Пусть значение при а и равных нулю; будем иметь

Далее я могу, положив

и затем

представить уравнения (19) в виде

Тогда можно видеть, что содержат лишь члены по меньшей мере второй степени по к; и

В самом деле, 0; делятся на и сводятся к или к 0 при отбрасывании членов, степени выше первой по Из этого следует прежде всего, что Отделится на . С другой стороны, правая часть уравнения (17) будет содержать лишь члены по меньшей мере первой степени по и по Итак, 0; содержит лишь члены второй степени по и по Отсюда следует, что единственные члены первой степени, которые могут уцелеть в сводятся соответственно к и 0.

Кроме того, делится на Итак, содержат лишь члены по меньшей мере второй степени, что и требовалось доказать.

Из уравнений (21) можно получить в виде рядов по степеням и Применяя к этим уравнениям то же рассуждение, что и к уравнениям (14), я докажу, что эти ряды сходятся, когда и что сходимость остается равномерной, как бы мало ни было а.

То же самое будет иметь место для рядов, представляющих

Отсюда будет следовать, что можно приписать верхнюю грань, не зависящую от а, если только

Затем я покажу ниже, в пунктах 116 и 117, что это верно и для всех положительных значений

В самом деле, пусть Ф — функция, разложенная в ряд по степеням и и такая, что мы имеем (при

Пусть Ф — значение Ф, когда заменяются на

Рассмотрим следующие уравнения:

аналогичные уравнениям (15). Ясно, что эти уравнения имеют такое решение, что разлагаются в ряды по степеням а и и обращаются в нуль вместе с

Эти ряды будут сходящимися, если только не превосходит некоторого предела, который я назову Сравним теперь уравнения (21) и функции их, которые им удовлетворяют, с уравнениями и функциями которые удовлетворяют последним.

Я собираюсь установить, что

(Я обращаю внимание на то, что а не входит в число аргументов, относительно которых берется это неравенство.)

В самом деле, пусть означают суммы членов степени самое большее по предположим, что мы установили, что

Я покажу, что

Тем самым я по индукции установлю неравенство, которое надо доказать.

Если подставить в и в Ф вместо разложения этих величин в ряды по степеням и то функции сами будут разлагаться в ряды по степеням

Обозначим еще через сумму членов степени не больше по

Тогда если то будем иметь также

Пусть

- член и

- соответствующий член будем иметь

Пусть теперь

— соответствующие члены

Уравнения (21) и нам дают тогда

Так как

то имеем

откуда

и по индукции

что и требовалось доказать.

Поскольку это неравенство берется по переменным и оно может быть продифференцировано как по так и по так что мы имеем

Пусть значение при если то для положительных значений будем иметь

Но величина разлагается в ряд по степеням а; следовательно, можно приписать ей верхнюю грань, не зависящую от а при малых значениях а, поскольку эта величина стремится к конечному пределу, когда а стремится к нулю.

Тем же свойством в силу установленных неравенств обладает и

Можно было бы также показать, что тем же свойством обладают производные

что и требовалось доказать.