Глава XV. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ПРЯМЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Задача из п. 125

158. Рассмотрим снова уравнения

и

Предположим, что этим уравнениям можно удовлетворить с помощью рядов, расположенных по синусам и косинусам линейных комбинаций

с целыми коэффициентами.

Существование этих рядов мы доказали в п. 125.

Напомню, что

и, следовательно

В п. 127 мы воспользовались для нахождения этих рядов уравнениями (1) и (2), но можно поступить иначе.

Прежде всего у нас имеется интеграл живых сил

Кроме того, выражение

должно быть полным дифференциалом, а поскольку величины константы, полным дифференциалом должно быть и выражение

что дает нам уравнение

Теперь я утверждаю, что уравнения (2) следуют из уравнений (1), (3), (4) и (6). В самом деле, уравнения (6) означают, что выражение (5) является полным дифференциалом. Условия интегрируемости этого выражения можно записать в следующем виде

Умножим это уравнение на Затем зафиксируем к и будем придавать последовательно значения

Наконец, сложим полученных уравнений. Учитывая соотношения (3), получим

или, если учесть уравнения (1),

Продифференцируем теперь интеграл живых сил (4) по

или, сопоставляя с уравнением (8),

откуда

что и требовалось доказать.

Итак, наши ряды мы можем найти с помощью уравнений (4), (6) и уравнений

Подставим в эти уравнения вместо разложения этих величин по степеням

Затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях стоящих в правой и левой частях этих уравнений.

Получим при этом цепочку уравнений, которые позволят найти коэффициенты выписанных выше рядов из рекуррентных соотношений.

В самом деле, предположим, что мы уже вычислили коэффициенты

Требуется найти коэффициенты

Приравняем коэффициенты при в правой и левой частях уравнения (4). Получим

Символом Ф я обозначил так же, как я буду делать на протяжении всей этой главы, некоторую полностью известную функцию, периодически зависящую от Излишне добавлять, что различные функции, которые я буду обозначать этим символом Ф, не должны совпадать друг с другом. Что же касается константы в правой чаоти уравнения (9), то она произвольна так же, как и константа, стоящая в правой части интеграла живых сил (4).

Приравняв теперь коэффициенты при правой и левой частях уравнения (6), получим

но имея в виду (9), получим

Все производные функции должны быть периодическими функциями от т. е. функция должна иметь вид

где константы, а периодическая функция.

Функцию можно найти из уравнения (11) с помощью вычислений, вполне аналогичных интегрированию уравнения (6). Добавлю, что вид зависимости и констант от константа можно выбирать произвольно, поскольку правая часть уравнения (11) сама произвольна.

После того как функция найдена, находим из уравнений (10) величины средние значения которых, как мы только что видели, можно выбирать произвольным образом.

Получив функции приравняем коэффициенты при в правой и левой частях уравнения (1). Имеем

Прежде всего определим константы так, чтобы среднее значение правой части уравнения (12) было равно нулю. С помощью вычислений, вполне аналогичных вычислениям п. 127, найдем из уравнения (12) функции Заметим, между прочим, что вид зависимости среднего значения от можно выбирать произвольно.