и предположим, что при
обращается в нуль вместе со своими 
первыми производными по у. Тогда при 
значение 0 переменной у является решением порядка 
этого уравнения.
Можно показать, что существуете сходящихся разложений у по дробным положительным степеням х, обращающихся в нуль вместе ежи удовлетворяющих этому уравнению (см. классические работы Пюизе об алгебраических уравнениях).
Эти 
сходящихся разложений распределяются по группам следующим образом.
Пусть
— одно из этих разложений и К — корень 
степени из единицы.
Разложение
будет также удовлетворять уравнению (1). Можно, следовательно, получить из разложения (2) 
других разложений, которые вместе с ним образуют группу; я назову ее группой порядка 
Сумма порядков всех групп, очевидно, равна 
Предположим, что имеются 
групп порядка 
сумма их порядков будет равна 
и мы получим
Коэффициенты 
разложений, принадлежащих к группам порядка Р, будут заданы алгебраическими уравнениями порядка 
Если 
нечетно, эти уравнения будут иметь по меньшей мере один действительный корень и по меньшей мере одно разложение будет иметь действительные коэффициенты. Поскольку, кроме того, 
нечетно, если 
нечетно, то соответствующее значение у также будет действительным.
Но если 
нечетно, по крайней мере одна из величин 
будет нечетна, следовательно, тогда по меньшей мере одно из значений у будет действительным.
Итак, если 
нечетно, уравнение (1) допускает по меньшей мере одно действительное решение при малых значениях х.
Можно еще добавить, что числа действительных решений при малых положительных и отрицательных значениях х будут оба той же четности, что и 
Речь идет о тех действительных решениях, которые обращаются в нуль вместе с х.
