Глава XX. РЯДЫ БОЛИНА

213. В предыдущей главе мы показали, каким образом можно построить функцию S. Чтобы найти из нее координаты как функции времени, достаточно применить к S метод Якоби.

Для простоты предположим, что целое число, обозначенное нами равно 1, а остальные равны нулю. Именно так мы выбрали в пунктах 205 и 206. Известно, что общий случай можно свести к указанному частному случаю заменой переменных (3), приведенной в п. 202.

Функция определяемая в п. 204 и последующих, зависит от переменных Кроме того, она содержит произвольных постоянных . В наших вычислениях могут встретиться и другие постоянные, а именно Однако мы предположим, что

1) величина связана с остальными соотношением (4), указанным в п. 204;

2) удовлетворяют условию (10), приведенному в том же п. 204;

3) постоянные как-то выражены через остальные постоянные.

Итак, S будет функцией, зависящей от

Положим

Отсюда мы получим как функции от Если в полученных таким образом выражениях считать произвольными постоянными, линейными функциями времени, то координаты окажутся функциями времени. Мы знаем это из теоремы .

Однако более удобно изменить уравнения (1) и записать их в виде

где — произвольные функции от

Ясно, что если вместо уравнений (1) рассматривать уравнения (2), то величины по-прежнему будут линейными функциями времени, ибо О зависят лишь от и будут постоянными.

Я воспользуюсь произволом в выборе функций 0 следующим образом. Я выберу их так, чтобы были периодическими функциями от с периодом

Обратимся прежде всего к первому случаю, когда производная принимает только вещественные значения и никогда не обращается в нуль, и посмотрим, какой вид имеют получаемые при этом ряды.

В этом случае производные периодичны по у, период равен Что же касается то эта функция имеет вид

где периодическая функция от зависят от

Кроме того, разлагаются по степеням

Поскольку в силу предположений, сделанных относительно целых чисел условие (10), приведенное в , запишется в виде

мы получаем просто

Если разложить по степеням то первый член этого разложения также будет равен

Я хочу, чтобы при замене

на

где целые числа, величины переходили соответственно в

Чтобы получить этот результат, положим

Отсюда следует, что функции допускают разложение по степеням При величина равна но постоянная связана с остальными соотношением (4), указанным в . В нашем случае это соотношение имеет вид

Следовательно, при функции и В будут

Из уравнений (2) мы найдем а затем в виде функций, зависящих от и допускающих разложение по степеням При первое и третье из уравнений (2) принимают вид

Второе уравнение приводит к тождеству но если его поделить на а затем положить то оно примет вид

Здесь — первый член разложения

Если придерживаться обозначений предыдущей главы, то это уравнение можно переписать:

Его правую часть можно представить в виде

где у — постоянная, зависящая от периодическая функция.

Функцию находим в соответствии с принятым выше соглашением, полагая

откуда

С другой стороны,

Поскольку производная всегда имеет один и тот же знак, производная всегда положительна, так что будет возрастающей функцией от Если возрастает на то эта функция возрастает также на

Отсюда следует, что верно и обратное: является возрастающей функцией от Эта функция возрастает на если возрастает на

Следовательно, можно записать, что

где функция от с периодом

Если не предполагать больше, что то первыми членами разложений

будут соответственно

Следующие члены будут периодическими по в результате чего будут периодическими функциями от

Мы уже видели, что должны быть линейными функциями времени, так что

где произвольные постоянные интегрирования.

Нам остается найти величины

Для этого рассмотрим уравнение (2) в п. 204. Для его правой части С имеем

зависит зависят от Постоянные мы выбирали произвольно, но одинаковым образом для всех С.

Отсюда следует, что С является функцией постоянных

С помощью метода Якоби мы получим

Поскольку и С заданы как функции эти уравнения позволяют найти в виде функций тех же переменных.

Замечу, что в силу того, что С и 0 разлагаются по степеням функции также должны обладать тем же свойством.

Первый член разложения равен первый член разложения равен первый член разложения равен

в силу чего будет обращаться в нуль при как и следовало ожидать. Наоборот, из второго уравнения (3) мы получаем при

Следовательно, первый член разложения равен