Случай либрации

214. Переходим ко второму случаю, когда производная может обращаться в нуль и принимает не только вещественные значения.

Прежде всего обратим внимание на то, что было особенно полезно нам в предыдущем пункте — на вид функции S. Я утверждаю, что производные

будут иметь вид

где целые числа, А — периодическая функция от не обращающаяся в бесконечность.

Сразу же ясно, что:

1) сумма или произведение двух функций вида (а) также будет иметь вид (а);

2) производная функции вида (а) либо по либо по либо по также будет иметь вид (а).

Поэтому мы предположим, что все производные

имеют вид (а) и попытаемся установить, что производные также будут иметь вид (а).

В самом деле, эти производные получаются из уравнения вида

где Ф, представляющая собой линейную комбинацию функций вида (а),

также будет иметь вид (а). Из уравнения получим

Ясно, что все эти функции будут иметь вид (а).

Из этого следует, что

где имеет вид (а). Следовательно, тот же вид имеет и а следовательно, и что и требовалось доказать.

Несмотря на то, что функция S имеет теперь более сложный вид, мы могли бы записать уравнения (2) предыдущего пункта и найти из них х и у как функции Однако можно поступить проще.

В самом деле, в п. 206 мы видели, что, произведя замену переменных и перейдя от переменных и к переменным мы получим уравнения, вполне аналогичные уравнениям . Следовательно, к нашим уравнениям можно будет применить те выводы, к которым мы пришли в этом пункте, а также все, что говорилось по поводу задачи в главах XIV и XV.

Отсюда следует, что эти уравнения можно решить, взяв в качестве функции от постоянных интегрирования и линейных функций времени

причем таких, что

будут периодическими функциями от допускающими разложение по степеням

Затем мы вернемся к исходным переменным и увидим, что

являются периодическими функциями от

Кроме того,

где постоянные интегрирования, а разлагаются по степеням

Первый член разложения равен а поскольку постоянная равна нулю, разложение начинается с члена, содержащего

Все эти ряды получают из функции определенной в п. 206.

Сама функция V зависит от переменных второго ряда

и, кроме того, от постоянных интегрирования

причем так, что

представляет собой периодическую функцию от

Затем с помощью уравнений

находим переменные как функции от

Способ получения уравнений (4) из уравнений (2) предыдущего пункта достаточно сложен, поэтому я коротко остановлюсь на нем.

Имеем

Удобно считать, что индексы к пробегают значения от 2 до а индексы от 1 до

С другой стороны,

и

откуда

Если положить

то путем несложных вычислений получим

так что (представив S в виде функции от будем иметь

Эти постоянные замены переменных могут привести к недоразумениям, поэтому я остановлюсь на них несколько подробнее:

Таким образом, у нас имеется переменных, а именно:

Однако эти переменные связаны между собой соотношениями

поэтому в действительности имеется только независимых переменных. Это позволяет нам каждую из функций S, V, Т выразить через надлежаще выбранных переменных.

Функция V обладает следующим характеристическим свойством: если одному из переменных придать приращение оставляя остальные переменные и X без изменений, то функция V получит приращение

В самом деле, мы знаем, что производные V по и периодичны по этим переменным.

В то же время переходит в остальные переменные и X не изменяются. Что же при этом происходит?

Переменные остаются без изменений, поскольку, как я только что сказал, производные V периодичны.

Чтобы понять, во что переходит воспользуемся уравнениями

Эти уравнения, представляющие собой не что иное, как уравнения (16) п. 206, показывают, что если возрастает на то также возрастает на в то время как остальные остаются без изменений.

При тех же условиях Т возрастает на возрастает на и, следовательно, S возрастает на

Отсюда видно, что производные S по у периодичны относительно

Таким образом, функция определяемая уравнением (5), обладает характеристическим свойством функций, изученных в пунктах 204, 205 и 207.

Однако она имеет и одно важное отличие.

Функция S предыдущего пункта зависит не только от переменных но и от и постоянных

Подробный анализ, проведенный в пунктах 204 и 205, показывает, что все функции производные которых периодичны, можно получать из названной выше функции, заменяя произвольных постоянных на произвольные функции других постоянных.

Функция же определяемая уравнением (5), зависит от переменных постоянных но она, кроме того, зависит и от постоянных ибо фигурируют в функции Т и, следовательно, участвуют в замене переменных, о которой говорилось в п. 206. Отличие состоит лишь в том, что в п. 206, так же, как и в предыдущих вычислениях, мы рассматривали как абсолютные постоянные, именно по этой причине в выражении входят дифференциалы а дифференциалы не входят.

Кроме того, замечу, что при замене на функция S предыдущего пункта возрастает в то время как функция определяемая уравнением (5), возрастает на

Отсюда я заключаю, что функцию определяемую из уравнения можно получить из функции S предыдущего пункта заменой постоянных на а постоянной некоторой функцией

Сравним теперь уравнения (2) с уравнениями (6). Мы получим

откуда, учитывая уравнения (2) и (6),

Отсюда следует

Следовательно, от уравнений (2) к (6) можно перейти, взяв вместо соответственно а вместо — их выражения (7).