Основы метода Дарбу

93. После этого отступления я возвращаюсь к своей основной теме. Прежде всего следует напомнить результаты Дарбу, из которых мы будем исходить.

1. Пусть ряд

имеет радиус сходимости

Если бесконечно возрастает, то

2. Представим себе теперь, что функция

остается конечной на окружности радиуса вместе с первыми производными; тогда произведение апгп не будет неограниченно расти с ростом

3. Если имеет место равенство

то приближенно выполняется

я хочу сказать, что отношение обеих частей равенства (1) стремится к 1 при неограниченном возрастании

4. Предположим теперь, что функция имеет на окружности радиуса две особые точки что в окрестности точки мы имеем

а в окрестности точки

где остаются конечными вместе со своими первыми производными. Тогда получаем при

откуда выводится приближенное значение

5. Если мы имеем

то

если

то мы будем приближенно иметь

Последняя формула применима лишь в случае, если к не есть целое положительное число, в этом случае

6. Пусть

— ряд, содержащий положительные и отрицательные степени и сходящийся при

Пусть две особые точки функции расположенные на окружности пусть две особые точки на окружности

Предположим, что не имеет на этих окружностях других особых точек.

Пусть

— два ряда, сходящиеся при

Пусть

— два ряда, сходящиеся при

Если разности и их первые производные конечны, причем первая из них в окрестности точки вторая — около точки третья — возле точки а четвертая — когда х находится вблизи точки то мы будем иметь

Приближенные значения коэффициентов следовательно, зависят лишь от особенностей, которые имеет функция на окружностях, ограничивающих сходимость.