Задача п. 134

161. Очевидно, этот же метод можно применить и к задаче из п. 134. Мы снова будем использовать обозначения, введенные в п. 151.

Обратимся еще раз к уравнениям (1) — (6) из п. 158, условившись, что знаки означают суммирование не только по всем (либо по всем либо же по всем и т. д.), но одновременно по (либо по у и либо по и т. д.).

Так же, как и в п. 158, заметим тогда, что уравнения (2) будут следовать из уравнений (1), (3), (4) и (6). Поэтому рассмотрим уравнения (4), (6) и (1), которые послужат для нахождения неизвестных.

Так же, как и в п. 158, заменим в этих уравнениях функции их разложениями по степеням и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях (X в правой и левой частях этих уравнений.

Однако я пользовался не только теми уравнениями, которые получаются, если приравнять коэффициенты при одинаковых степенях Точно так же я использовал и те уравнения, которые возникают, если приравнять в правой и левой частях уравнений средние значения, но усреднение производить только по (но не по

Пусть произвольная функция, периодическая по Через я так же, как и в п. 151, обозначу ее среднее значение, вычисленное только по а через ее среднее значение по одновременно.

Тогда

однако в общем случае

Что же касается функции то она будет не периодической функцией, а всего лишь функцией, производные которой периодичны.

Поэтому мы получаем только соотношение

Предположим теперь, что мы уже полностью вычислили

с точностью до произвольной функции от и что требуется завершить вычисление и полностью пайти а функции с точностью произвольной функции .

Уравнение (9) из п. 158, которое получается, если приравнять в уравнении (4) члены, стоящие при имеет несколько иной вид, поскольку его правая часть уже не будет полностью известна. Это уравнение запишется в виде

В случае имеем

Разумеется, мы предполагаем, что вместо подставлены

Неправую часть уравнения нельзя считать полностью известной, поскольку известны лишь с точностью до произвольных функций от

Рассмотрим теперь уравнение (10) п. 158. И в этом случае правую часть нельзя считать полностью известной, ее вид несколько изменился и мы запишем, что

Если учесть, что величины

известны, то уравнения можно записать в виде

Очевидна роль, которую играет производная Поэтому следует прежде всего найти эту величину путем подробного рассмотрения первого приближения. Для этого имеется записанное выше уравнение и уравнение

так что уравнение можно переписать в виде

Замечу, что величины равны нулю, и, следовательно, я могу записать

условившись обозначать символом S суммирование только по или только по в то время как 2 означает, как мы условились выше, суммирование, проводимое одновременно по Если вычислить средние значения правой и левой частей уравнения, то поскольку

получим

Но среднее значение есть функция зависящая лишь от Так как эти константы произвольны, константа в правой части уравнения также произвольна, и это уравнение интегрируется без труда.

Приравняем теперь члены первого порядка в правой и левой частях уравнения тогда

Правая часть этого уравнения полностью известна. В самом деле, она зависит лишь от Левая же часть этого уравнения

помимо прочего зависит от не зависит от поскольку по предположению функция не зависит от величины равны производным которые известны, ибо определена с точностью до произвольной функции от

Кроме того, среднее значение правой части, вычисленное только по является константой.

В самом деле, это среднее значение равно

Но

ибо зависит лишь от которые являются константами.

Итак, среднее значение правой части является константой, которую мы можем приравнять Точно таким же образом вычислим только в этом случае первый член обращается в нуль, и мы получим лишь

Это уравнение интегрируется без труда, и мы получаем с точностью до произвольной функции от

То, что я говорил об без всяких изменений переносится и на Что же касается величин то они равны и, следовательно, известны с точностью до произвольной функции от

Возвратимся к уравнениям (9а) и (10а).

Вычислим средние значения правых и левых частей только по причем сначала произведем выкладки для (10а), предположив, что производная взята по одной из величин а не по

откуда, наконец,

Такие же операции произведем и над уравнением (9а), тогда (с учетом )

Итак, мы имеем

откуда с учетом

или

Но известно с точностью до некоторой постоянной. В самом деле, заменив на , получаем уравнение, аналогичное уравнению

Учитывая равенство

можем записать

Вернемся теперь к уравнению (10а), но заменим Если учесть, что известны, то это уравнение можно записать в виде

Функция представляет собой сумму членов, из которых одни периодичны по другие равны некоторой константе, умноженной на или

Именно это и вытекает из высказанной выше гипотезы о том, что производные от функции периодичны.

Если в этой сумме мы отбросим все члены, которые зависят от то оставшиеся члены образуют функцию, зависящую от которую мы можем обозначить символом Поскольку мы предполагали, что функция известна с точностью до произвольной функции от можно сказать, что мы знаем разность но отнюдь не

Тогда

и, следовательно,

Это уравнение определяет [5]. Таким образом, функция полностью известна.

Теперь величины и определяются из уравнения и аналогичного уравнения

Приравняем теперь в правой и левой частях уравнения члены порядка. Тогда

Здесь А означает коэффициент при в производной — коэффициент при в

Функция зависит только от величин которые полностью известны до включительно. Поэтому можно записать, что

Члены точно так же полностью известны. Имеем

или (поскольку нам известна разность

С другой стороны, равны нулю, а поскольку известны с точностью до произвольной функции от то

откуда

Вычислим теперь средние значения правой и левой части, заметив, что

Получим

Выше мы нашли

Это означает, что известно, поскольку константу в правой вдсти уравнения можно выбирать произвольно. Следовательно,

Величинами можно воспользоваться для того, чтобы обратить в нуль среднее значение правой части после чего это уравнение без труда интегрируется, и мы получаем

Таким же образом вычисляют так что становятся теперь полностью известными функциями.

После этого уравнения можно записать так:

откуда следует уравнение

задающее с точностью до некоторой неизвестной функции от (ибо ранее мы выбрали так, чтобы среднее значение правой части было равно некоторой постоянной). Иначе говоря, это уравнение определяет

Затем из уравнений и мы находим и с точностью до функций от Иначе говоря, эти уравнения определяют разности

Добавлю еще, что нам уже известно из уравнения Таким образом, мы уже полностью знаем но отнюдь не

Уравнение (12а) принимает вид

Среднее значение правой части уравнения равно нулю в силу уравнения отсюда находим

Таким же образом вычисляем и