Таким образом, уравнения (1) определяют у как функцию от х, и говорят, что функция у от х задается параметрически.
Выражение
непосредственной зависимости у от х может получиться путем исключения параметра t из уравнений (1).
Параметрическое задание кривых широко применяется в механике. Если в плоскости Оху движется некоторая материальная точка и нам известны законы движения проекций этой точки на оси координат,
где параметр t есть время, то уравнения (Г) являются параметрическими уравнениями траектории движущейся точки. Исключая из этих уравнений параметр t, получим уравнение траектории в форме y = f(x) или
Рассмотрим, например, такую задачу.
Рис. 75.
Задача. Определить траекторию и место падения груза, сброшенного с самолета, движущегося горизонтально со скоростью
на высоте
(сопротивлением воздуха можно пренебречь). Решение. Возьмем систему координат так, как показано на рис. 75, предполагая что самолет сбрасывает груз в тот момент, когда он пересекает ось
Очевидно, что горизонтальное перемещение груза будет равномерным, с постоянной скоростью
Вертикальное перемещение падающего груза под влиянием силы тяжести будет выражаться формулой
Следовательно, расстояние груза от земли в любой момент времени будет выражаться формулой
Два уравнения
будут параметрическими уравнениями траектории. Чтобы исключить параметр
из первого уравнения находим значение
и подставляем это значение во второе уравнение. Тогда получим уравнение траектории в форме
Это — уравнение параболы с вершиной в точке
, причем ось Оу служит осью симметрии параболы.
Определим величину отрезка ОС. Обозначим абсцессу точки С через X, заметим, что ордината этой точки
Подставляя эти значения в предыдущую формулу, будем иметь
откуда