§ 16. Параметрическое задание функции

Даны два уравнения

где t принимает значения, содержащиеся на отрезке Каждому значению t соответствуют значения х и у (функции предполагаем однозначными). Если рассматривать значения х и у как координаты точки на координатной плоскости Оху, то каждому значению t будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда t изменяется от до эта точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями этой кривой, t называется параметром, а способ задания кривой уравнениями (1) называется параметрическим.

Предположим, далее, что функция имеет обратную Тогда, очевидно, у является функцией от

Таким образом, уравнения (1) определяют у как функцию от х, и говорят, что функция у от х задается параметрически.

Выражение непосредственной зависимости у от х может получиться путем исключения параметра t из уравнений (1).

Параметрическое задание кривых широко применяется в механике. Если в плоскости Оху движется некоторая материальная точка и нам известны законы движения проекций этой точки на оси координат,

где параметр t есть время, то уравнения (Г) являются параметрическими уравнениями траектории движущейся точки. Исключая из этих уравнений параметр t, получим уравнение траектории в форме y = f(x) или Рассмотрим, например, такую задачу.

Рис. 75.

Задача. Определить траекторию и место падения груза, сброшенного с самолета, движущегося горизонтально со скоростью на высоте (сопротивлением воздуха можно пренебречь). Решение. Возьмем систему координат так, как показано на рис. 75, предполагая что самолет сбрасывает груз в тот момент, когда он пересекает ось Очевидно, что горизонтальное перемещение груза будет равномерным, с постоянной скоростью Вертикальное перемещение падающего груза под влиянием силы тяжести будет выражаться формулой Следовательно, расстояние груза от земли в любой момент времени будет выражаться формулой

Два уравнения

будут параметрическими уравнениями траектории. Чтобы исключить параметр из первого уравнения находим значение и подставляем это значение во второе уравнение. Тогда получим уравнение траектории в форме

Это — уравнение параболы с вершиной в точке , причем ось Оу служит осью симметрии параболы.

Определим величину отрезка ОС. Обозначим абсцессу точки С через X, заметим, что ордината этой точки Подставляя эти значения в предыдущую формулу, будем иметь

откуда