4.4. Пример: интегральное уравнение Пайерлса.

Нахождение критических параметров ядерного реактора в простейших случаях (в одногрупповом приближении) сводится к вычислению первого собственного значения интегрального уравнения

которое называется уравнением Пайерлса [25, 51]. Здесь трехмерная область (объем реактора), в которой происходит диффузия нейтронов, заданные положительные функции,

интеграл в показателе берегся по отрезку прямой, соединяющей точки и равен

где - единичной вектор.

Если , то область (30 подкритическая, если , то область надкритическая. Область будет критической при в этом случае собственная функция равна плотности нейтронов.

Ядро уравнения (54) не симметрично, но симметрпзуемо и имеет слабую особенность. В. С. Владимиров [10] исследовал сходимость метода Келлога для уравнений такого типа и методы Монте-Карло для расчета приближений. Оказалось, что метод и. 4.1 полностью применим для решения уравнения (54), а если выбрать , то приближения монотонно убывают:

Расчеты и этим методом были осуществлены в [13, 76].

Рис. 31.

4.4.1. Численный пример [13, 82].

Пусть однородный шар радиуса где 1,724.

Выберем . Плотность начальной точки зададим формулой , где расстояние от центра шара. Плотность вероятностей перехода из точки Р в точку Р выберем так, чтобы в знаменателе стояла величина (ср. гл 3, п. 3.2.3). Для этого воспользуемся сферическими координатами с центром в точке Р (рис. 51). Пусть

где — расстояние по направлению со от точки Р до границы шара. Нетрудно проверить, что

так что действительно есть условная плотность вероятностей.

Выведем формулы для расчета траектории Расстояние от начальной точки ДО центра шара вычисляется по формуле . Две другие координаты можно не разыгрывать из-за симметрии задачи Направление случайного луча из точки определяется величинами Первую из них можно

вычислить по формуле , а вторую (из соображений симметрии) можно полагать равной нулю . Расстояние от точки по направлению со до границы шара равно

где расстояние от до центра шара. Если обозначить то, очевидно, Для определения случайного расстояния получаем уравнение

откуда следует, что Вычислив точку можем найти расстояние от нее до центра шара

Так как то (по формуле (6)) нужная нам величина равна Так как из (5) следует, что , то легко получить рекуррентную формулу для расчета непосредственно :

Полный набор расчетных формул.

1) Начальная точка траектории:

2) Звено номер :

3) Если значение полученное при расчете траектории номер то нужные нам скалярные произведения приближенно равны

Таблица 1

Значения

(см. скан)

Таблица 2

Значения

(см. скан)

В табл 1 приведены значения полученные при расчете по этим формулам, а в табл. 2 — соответствующие отношения

При расчете этого же примера методом характеристик получено значение 1,000.

В ходе расчета были сосчитаны дисперсии которые при равны соответственно Если по этим дисперсиям вычислить вероятные ошибки величин , например, при то получим значения Нетрудно заметить, что погрешности соответствующих величин при в табл. 1 на порядок меньше, чем (если судить по изменениям этих величин с ростом ). Это вызвано тем, что пример считался с помощью детерминированных псевдослучайных точек, о которых речь пойдет в гл. 7.