1.4. Метод обратных функций.

Теоремы 1 и 2 представляют собой частные случаи общего метода, который естественно назвать методом обратных функций (наряду с названием inverse functions method встречается также direct method).

Рассмотрим произвольную случайную величину с функцией распределения а). Обратную по отношению к функцию определим следующим образом. Во-первых, дополним график функции вертикальными отрезками в точках разрыва до непрерывной линии (рис. 16, б); функция вообще говоря, неоднозначна. Эту же линию можно записать уравнением вида , где функция опять-таки не обязана быть однозначной: интервалам постоянства соответствуют вертикальные отрезки и наоборот. Положим в точках непрерывности и в точках разрыва (рис. 16, в).

Построенная таким образом однозначная функция не убывает при и непрерывна справа во

всех точках. Функции связаны следующим свойством: тогда и только тогда, когда . Для доказательства этого свойства достаточно проверить, что каждое из двух неравенств и означает, что точка расположена на линии одновременно и левее и ниже точки (рис. 17).

Теорема 3. Случайная величина

имеет функцию распределения

Для доказательства теоремы нужно вычислить функцию распределения случайной величины определенной формулой (6):

Рис. 16.

То, что теорема 1 предоставляет собой частный случай теоремы 3, видно из сравнения рис. 18, на котором изображена функция соответствующая дискретной случайной величине, с рис. 14: если на рис. 14, то на рис. 18. В условиях теоремы 2 функция совпадает с обычной обратной функцией к и уравнение (6) равносильно (4).

Заметим, что так как случайная величина имеет то же распределение, что у, то в формулах (2), (4), (6) можно вместо у написать Следовательно, указанные способы моделирования не единственно возможные. Иногда замена у на несколько упрощает формулы расчета. Например, вместо формулы (5) можно использовать формулу

Итак, метод обратных функций позволяет записать формулы для моделирования любой случайной величины Но нередко этот метод приводит к сложным или просто неудобным алгоритмам.

Рис. 17.

Рис. 18.

Например, для того чтобы вычислять значения гауссовской (нормальной) случайной величины с параметрами приходится решать уравнение

В таких случаях обычно прибегают к помощи других методов моделирования, связанных с другими преобразованиями случайных чисел у.