3.2. Вполне равномерно распределенные последовательности чисел.

Определение. Последовательность чисел принадлежащих интервалу (0, 1), называется вполне равномерно распределенной, если при каждом натуральном последовательность точек

равномерно распределена в . Понятие это было введено Н. М. Коробовым в 1949 г. [41].

Из п. 2.1 вытекает, что если функция интегрируема по Римапу в , то

и соотношение это справедливо для любого натурального или, другими словами, для функций от любого

конечного числа аргументов. Следовательно, вполне равномерно распределенные последовательности чисел можно (в принципе) использовать для практической реализации алгоритмов Монте-Карло с любыми конечными , а в некоторых случаях и с [99]. К сожалению, до сих пор неизвестно ни одной вполне равномерно распределенной последовательности, которая в какой-то степени удовлетворяла бы требованиям п. 2.4.3 при различных п.

Пример [126] Известно, что существуют бесконечно много таких чисел последовательность дробных долей вполне равномерно распределена. Легко доказать, что такие а обязаны быть трансцендентными числами. Но до сих пор ни одного конкретного значения а не найдено.

Можно доказать, что вышеприведенное определение вполне равномерно распределенных последовательностей эквивалентно следующему.

Определение. Последовательность чисел принадлежащих интервалу называется вполне равномерно распределенной, если при каждом натуральном последовательность точек

равномерно распределена в .

Из этого определения и п. 2.1 следует, что если интегрируема по Риману в , то, каково бы ни было натуральное

Может показаться, что расчет по формуле (22) выгоднее, чем расчет по формуле (20), так как при этом затрачивается примерно в раз меньше чисел Несомненно однако, что вычислители, инстинктивно стремясь к «независимости» псевдослучайных точек, отдадут предпочтение точкам (19) и формуле (20). Вполне вероятно, что они правы: может оказаться, что для точек (21) отклонение (при любом n?) растет быстрее, чем для точек (19). Вопрос этот не исследован.