§ 2. Простейший метод Монте-Карло для вычисления интеграла

2.1. Простейший метод Монте-Карло.

Обозначим через G произвольную область (ограниченную или неограниченную, связную или несвязную) плоскости х, у. Точки плоскости будем обозначать одной буквой а элемент площади Рассмотрим задачу о приближенном вычислении интеграла

где - некоторая заданная плотность вероятностей, определенная в G, так что .

Заметим сразу, что любой интеграл

по ограниченной области G можно считать интегралом вида (12). Действительно, если площадь G обозначить через , то при представляет собой плотность вероятностей случайной точки, равномерно распределенной в G. Если ввести функцию то, очевидно,

Чтобы построить метод Монте-Карло для расчета интеграла (12), рассмотрим случайную точку Q с плотностью и введем скалярную случайную величину математическое ожидание которой равно искомому значению интеграла

Для расчета можно использовать оценку (1).

Итак, если независимые реализации случайной точки Q и , то оценкой интеграла (12) служит величина

Очевидно, и если существует то, согласно п. 1.1, оценка . В рассматриваемом случае

Следовательно, если интеграл (12) сходится абсолютно, то сходится по вероятности к

Пример. Требуется вычислить интеграл

Выберем плотность и функцию, Если - значение случайной величины с плотностью то оценка интеграла

Находить значения g можно по формуле (7) гл. 2. Поэтому Формулу для вычисления можно записать в виде

где — независимые случайные числа.

Рис. 34.

В дальнейшем вычисляются только абсолютно сходящиеся интегралы. Однако метод Монте-Карло позволяет вычислять и условно сходящиеся интегралы, если преобразовать их надлежащим образом (см. упражнение 5 гл. 3).