§ 3. Решение уравнения Лапласа

3.1. Построение случайных траекторий.

Пусть задана ограниченная связная область G и точка Определим случайную траекторию следующим образом: положим далее, если точка известна, то построим окружность произвольного радиуса расположенную внутри G, и на этой окружности выберем случайную точку (рис. 71). Таким образом,

где и угол равномерно распределен в интервале .

Теорема 2. Если функция удовлетворяет в области G уравнению Лапласа

то каждом и при любых математическое ожидание равно значению в начале траектории.

Доказательство. Придадим более точный смысл утверждению о произвольности радиуса . Будем считать, что задана некоторая плотность , которая тождественно равна нулю при всех превосходящих минимальное расстояние от до границы , а также при случай также допускается; и выбор осуществляется в соответствии с плотностью

Рис. 71.

Пусть плотность распределения точки в G. Тогда математическое ожидание величины равно

По известной теореме о среднем значении гармонической функции [88]

Поэтому

При точка . Применяя индукцию, получим утверждение теоремы.

Построение траекторий рассмотренного типа в трехмерном случае иногда называют блужданиями по сферам.