Численные методы Монте-Карло
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ 1.2. О приближенных случайных числах. 1.3. Таблицы случайных цифр. 1.4. Датчики случайных чисел. 1.5. Метод псевдослучайных чисел. 1.6. Сравнение трех способов с практической точки зрения. § 2. Псевдослучайные числа 2.2. Некоторые конкретные алгоритмы. 2.3. Оценка L для алгоритмов вида … 2.4. О более сложных алгоритмах. § 3. Статистическая проверка случайных чисел 3.1.2. Критерий согласия «хи-квадрат». 3.1.3. Замечания о применении критерия «хи-квадрат» 3.1.4. Критерий «омега-квадрат» 3.2. Проверка таблиц случайных цифр. 3.3. Проверка псевдослучайных чисел. 3.4. О проверке датчиков случайных чисел. 3.5. О проверке больших массивов случайных чисел. Упражнения к главе 1 ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1.2. Моделирование случайных событий. 1.3. Моделирование непрерывных случайных величин. 1.4. Метод обратных функций. 1.5. Преобразования вида … § 2. Моделирование многомерных случайных величин 2.2. Моделирование n-мерной непрерывной случайной точки (с произвольными координатами). 2.3. Возможные обобщения теоремы 4. 2.4. Использование замены переменных. § 3. Преобразования вида … 3.2. Применение полярных координат. 3.3. Метод суперпозиции. 3.4. Метод интегральной суперпозиции. 3.5. Некоторые приложения метода суперпозиции. § 4. Преобразования вида … 4.1. Извлечение корней из случайных чисел. 4.2. Моделирование гамма-распределения. 4.3. Моделирование семейства биномиальных распределений. 4.4. Приближенное моделирование нормального (гауссовского) распределения. § 5. Методы отбора 5.1. Общая характеристика методов отбора. 5.2. Моделирование усеченных распределений. 5.3. Метод Неймана [163]. 5.4. О некоторых обобщениях метода Неймана. 5.5. Выбор равномерно распределенных точек в сложных областях. 5.6. Алгоритмы, соответствующие методам отбора. 5.7. Заключительные замечания. Упражнения к главе 2 ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ § 1. Общий метод оценки математических ожиданий 1.2. Погрешность метода. 1.3. Вероятная ошибка метода. 1.4. Эмпирическая оценка дисперсии. 1.5. Оценка ошибки без расчета дисперсии. 1.6. Случай … 1.7. Замечание. О некоторых терминах, употребляемых в математической статистике [24, 44]. § 2. Простейший метод Монте-Карло для вычисления интеграла 2.2. Геометрический метод Монте-Карло. 2.3. Сравнение точности методов Монте-Карло. 2.4. Сравнение трудоемкости алгоритмов Монте-Карло. § 3. Важнейшие способы построения хороших оценок (способы уменьшения дисперсии) 3.1.2. Интегрирование по части области. 3.1.3. Интегрирование по части переменных (понижение порядка интеграла). 3.2. Метод существенной выборки. 3.3. Симметризация подынтегральной функции. 3.3.2. О сложной симметризации. 3.4. Двухэтапные схемы расчета. § 4. Интегралы, зависящие от параметра 4.2. Вспомогательная теорема о погрешности простейшей квадратурной формулы. 4.3. Оценка погрешности метода Монте-Карло с помощью распределения w2. 4.4. Численное дифференцирование оценки (51). 4.5. О таблицах случайных чисел. Упражнения к главе 3 ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ) § 1. Методы Монте-Карло с повышенной скоростью сходимости 1.2. Оценки с повышенной скоростью сходимости. 1.3. Сравнение с квадратурными формулами. § 2. Случайные квадратурные формулы 2.2. Некоторые свойства интерполяционных квадратурных формул. 2.3. Случайные интерполяционные квадратурные формулы. § 3. Использование смещенных оценок 3.2. Простейший метод Монте-Карло с поправочным множителем. 3.3. Численный пример. Упражнения к главе 4 ГЛАВА 5. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1.2. Вычисление линейных функционалов от итерированных функций. 1.3. Вычисление значений итерированных функций. 1.4. Случайные траектории с поглощением. 1.5. Сравнение точности оценок (8) и (20). § 2. Неоднородные интегральные уравнения 2.2. Оценка линейных функционалов от 2.3. Метод существенной выборки для траекторий 2.4. Оценка линейных функционалов от z. 2.5. Сравнение точности оценок (38) и (11). 2.6. Использование сопряженного уравнения. 2.7. Усложненные оценки линейных функционалов от z. § 3. Пример: рассеяние частиц 3.2. Использование истинных траекторий. 3.3. Использование искусственных траекторий. 3.4. Существенная выборка. 3.5. Рассеяние в области G. § 4. Однородные интегральные уравнения 4.2. Метод существенной выборки для траекторий 4.3. О других методах расчета 4.4. Пример: интегральное уравнение Пайерлса. § 5. Решение линейных алгебраических систем 5.2. Случайная цепь для решения алгебраической системы. 5.3. Вычисление одной компоненты решения. 5.4. Обращение матрицы. 5.5. Решение дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона. 5.6. Случай очень большого числа переменных. Упражнения к главе 5 ГЛАВА 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ § 1. Моделирование путем имитации 1.2. Задача о размножении нейтронов. 1.3. Системы массового обслуживания. 1.4. Расчет вероятностных характеристик сложной случайной величины. § 2. Моделирование свободного пробега 2.2. Моделирование свободного пробега нейтрона. 2.3. Моделирование свободного пробега заряженной частицы. § 3. Использование статистических весов 3.2. Веса, учитывающие вылет из области G0. 3.3. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения и учитывающие вылет из области G0. 3.4. Различные статистические веса. 3.5. Статистические веса и существенная выборка. 3.6. Метод подобных траекторий. 3.7. Векторные веса. § 4. Статистические веса и интегральные уравнения 4.2. Плотность первых столкновений. 4.5. Веса, учитывающие вылет, как метод решения интегрального уравнения. 4.6. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения и учитывающие вылет, как метод решения интегрального уравнения. 4.7. Веса п. 3.3 при решении уравнения Пайерлса. Упражнения к главе 6 ГЛАВА 7. НЕСЛУЧАЙНЫЕ ТОЧКИ В АЛГОРИТМАХ МОНТЕ-КАРЛО § 1. Конструктивная размерность алгоритмов Монте-Карло 1.1. Алгоритмы с конечной конструктивной размерностью. 1.2. Алгоритм с бесконечной конструктивной размерностью. § 2. n-мерные псевдослучайные точки 2.2. Геометрическая характеристика равномерно распределенных последовательностей. 2.3. Ускорение сходимости. 2.4. «Хорошие» псевдослучайные точки. 2.5. Замечание о роли дисперсии. § 3. Поиски «универсальных» псевдослучайных чисел 3.2. Вполне равномерно распределенные последовательности чисел. 3.3. Асимптотически вполне равномерно распределенные последовательности чисел. § 4. Проверка псевдослучайных чисел с детерминистической точки зрения 4.2. Многомерные критерии. 4.3. О системах тестов. Упражнения к главе 7 ГЛАВА 8. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗАДАЧИ § 1. Интерполирование функций от большого числа переменных 1.2. Метод Монте-Карло. § 2. Простейший случайный поиск 2.2. ЛП-поиск. 2.3. Поиск в произвольной конечной области. § 3. Решение уравнения Лапласа 3.2. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. § 4. Вычисление винеровских интегралов 4.2. Приближенное построение броуновских траекторий. 4.3. Замена континуального интеграла многомерным. ПРИЛОЖЕНИЯ ЛИТЕРАТУРА |
