§ 3. Пример: рассеяние частиц

3.1. Основное уравнение теории рассеяния.

Методы Монте-Карло часто используются для расчета различных задач, связанных с прохождением частиц (нейтронов, гамма-квантов и др.) через вещество. Мы не будем касаться здесь специальных вопросов, а рассмотрим лишь общую схему рассеяния, предполагая, что частицы при столкновении с атомами (точнее, с ядрами атомов) среды могут либо рассеиваться, либо поглощаться. Обозначим через Р точку шестимерного фазового пространства координат и скоростей v частицы. Обозначим элемент объема этого пространства через

Пусть количество первых столкновений, количество всех столкновений в элементе объема около точки Р (за единицу времени). Функцию можно явно вычислить, если задан источник частиц. Функцию называемую плотностью столкновений, требуется найти.

Введем ядро столкновений , которое определяется следующим условием: это вероятность того, что частица, испытавшая столкновение в точке испытает следующее столкновение в элементе объема около точки Р (за единицу времени). Конкретный вид ядра столкновений в одногрупповой теории переноса нейтронов имеется на стр. 223.

Нетрудно составить интегральное уравнение, которому подчиняется плотность столкновений:

ибо столкновение в окрестности точки Р может быть либо первым столкновением, либо следует за столкновением в окрестности некоторой точки , а количество таких столкновений (за единицу времени) равно Область интегрирования в (49) — все пространство. Введем сопряженное ядро . Тогда уравнение (49) совпадает с уравнением (25), а сопряженное уравнение (46) можно записать в виде

В рассматриваемом случае итерации - функции имеют простой физический смысл: это плотности вторых, третьих и т. д. столкновений. И ряд Неймана

означает, что плотность столкновении есть сумма плотностей первых, вторых и т. д. столкновений.

Обычно требуется вычислить какие-нибудь функционалы вида . Это можно сделать любым из методов, указанных в § 2.