3.2. Простейший метод Монте-Карло с поправочным множителем.

Пусть требуется вычислить интеграл вида (35), где - заданная плотность вероятностей, определенная в G и независимые реализации случайной точки Q с плотностью . В качестве оценки интеграла рассмотрим величину

где функция пока не определена. Если , то оценка (38) будет состоятельной (доказывается так же, как в п. 3.1).

Оценка (38) сходна с оценкой (36), так как при больших N с большой вероятностью

В то же время для гораздо легче вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Теорема 5. Если , то

Доказательство. Для краткости обозначим . Заметив, что при величины эти независимы, запишем

Так как , то

что равносильно (39).

Перейдем к вычислению дисперсии . Так как

то в сумме необходимо выделить слагаемые с четырымя различными индексами с тремя различными индексами, например вида с двумя различными индексами вида или вида и со всеми совпадающими индексами Тогда нетрудно получить, что

Вычитая из квадрат выражения (41) и принимая

во внимание равенства найдем выражение для дисперсии

В этом выражении легко выделить главные члены

Последняя формула совпадает с (40), и таким образом теорема доказана.

Из (39) видно, что оценка будет несмещенной для любой функции тогда и только тогда, когда . В этом случае (38) обращается в оценку простейшего метода Монте-Карло. Однако для каждой конкретной существует бесконечно много таких , что

Из (40) видно, что если , то главный член выражения обращается в нуль и При этом смещение в нуль не обращается и, согласно (39), равно

В этом смысле оценка хуже, чем оценка . Неясно, однако, играет ли указанное свойство какую-либо роль на практике, когда выбор или в точности невозможен. Заметим, что функция в теореме 5 не обязана быть знакопостоянной, так что если и значение интеграла известно, то целесообразно положить

Пример. Вычислить интеграл . Так как положим

Согласно (38) при получим оценку

Главный член дисперсии тот же, что в примере п. 3.1, так что невероятная ошибка Смещение же равно т. е. в несколько раз меньше. (С увеличением N различие это еще увеличивается: например, при N=100 вероятная ошибка , а смещение равно — 0,00094).