3.4. Двухэтапные схемы расчета.

В некоторых задачах можно указать не одну «хорошую» оценку, а целое семейство, зависящее от параметров. Возникает вопрос о наилучшем выборе параметров. Обычно условием выбора служит требование минимума дисперсии оценки (при этом молчаливо предполагается, что время расчета одного испытания слабо зависит от значений параметров) .

Аналитическое решение в этой ситуации, как правило, невозможно. Однако можно рекомендовать численный подход: на первом этапе весьма грубо вычисляются дисперсии оценки при различных значениях параметров (это нетрудно сделать методом п. 1.4 по небольшому количеству N испытаний); на втором этапе решается основная задача, при помощи оценки с наилучшей системой параметров. Известные по первому этапу время счета и дисперсия позволяют довольно точно оценить объем работы, необходимый для достижения заданной вероятной ошибки.

Мы рассмотрим два примера однопараметрических оценок.

3.4.1. В п. 3.1.1 для приближенного вычисления интеграла

использовалась оценка

где — случайные точки с плотностью некоторая функция, «близкая» к интеграл которой известен: Обе функции принадлежат

Можно выбрать произвольный параметр а и рассмотреть более общую оценку интеграла I

Действительно, в (38) осредняется величина математическое ожидание которой По известной формуле о дисперсии суммы

где — коэффициент корреляции величии

Простые вычисления показывают, что минимум реализуется при и равен

(Теоретически возможен даже случай который реализуется при однако на практике, если то случайные величины связаны линейной зависимостью и искомый интеграл равен ; никакие приближенные оценки не нужны).

Пример. Требуется вычислить интеграл

Так же, как в п. 3.1.1, положим но вместо оценки (23) воспользуемся оценкой (38)

Так как

то наилучшее значение и соответствующее ему значение дисперсии равно

Это примерно в 10 раз меньше, чем в п. 3.1.1. Ничего удивительного в таком результате нет: из рис. 12 видно, что прямая гораздо лучше приближает функцию чем прямая

Рис. 42.

3.4.2. Чаще других встречается метод существенной выборки, зависящий от параметра. Если при всех а (из некоторого множества) плотности допустимы по отношению к то интеграл можно вычислять методом существенной выборки с любым а. Наилучшее значение и это значение, при котором достигает минимума интеграл

фигурирующий в выражении (29) для дисперсии. Аналитическое исследование способов выбора а имеется в статье А Маршалла [157]. Однако на практике обычно выбор а осуществляется экспериментальным способом, указанным в начале п. 3.4.

Пример. Интеграл

в п. 3.2.1 вычислялся методом существенной выборки с плотностью Рассмотрим теперь семейство допустимых плотностей

Для разыгрывания значений случайной величины с плотностью методом обратных функций получаем уравнение

решение которого исмрудно записать в явном виде. Окончательная оценка интеграла

где .

В этом примере дисперсия осредняемой величины равна 1

После замены переменной это выражение превратится

где интеграл выражается через интегральную показательную функцию

При получаем для выражение из п. 3.2.1, которое равно 0,0269. Однако расчеты показывают, что дисперсия будет минимальной при когда