1.3. Сравнение с квадратурными формулами.

Фиксируем произвольные точки и рассмотрим квадратурную формулу

Для того чтобы оценить ее погрешность, умножим (13) на и проинтегрируем по

Интеграл, стоящий справа, легко оценить с помощью (10) и (11):

Суммируя равенства (17) по от 1 до N и используя последнюю оценку получим, что в условиях теоремы 3

Сравнение (15) и (18) показывает, что порядок вероятностной оценки погрешности (15) на лучше, чем порядок оценки (18). Это не случайность. Следует подчеркнуть различный характер обеих оценок: оценка (18) справедлива одновременно для всех функций рассматриваемого класса с непрерывными частными производными можно переписать ее в виде

В то же время неравенство (15) справедливо для одной функции (хотя и любой)

Вопрос о наилучших порядках сходимости квадратурных формул, в которых используются значения в N заданных точках, и недетерминированных методов вычисления интегралов, в которых используются значения в N случайных точках, исследовался Н. С. Бахваловым [2].

Для некоторых классов функций, заданных в оказалось, что если наилучший порядок сходимости квадратурных формул (на рассматриваемом классе) равен то можно построить недетерминированный метод интегрирования, порядок сходимости которого (для каждой функции класса) будет с большой вероятностью равен . И этот порядок сходимости тоже является наилучшим. (См. упражнение 1 на стр. 159).

Практического применения такие недетерминированные методы интегрирования пока не имеют, вероятно, из-за того, что сами многомерные квадратурные формулы, на базе которых должны строиться эти методы, достаточно сложны.

Другой подход к оценкам с повышенной скоростью сходимости использован в [85], где для некоторых классов функций доказано, что если имеется семейство квадратурных формул с порядком сходимости, равным (на рассматриваемом классе), то, выбрав подынтегральную функцию из этого класса случайно, можно с большой вероятностью гарантировать для нее порядок сходимости если если