2.3. Сравнение точности методов Монте-Карло.

В оценке (14) фигурируют значения случайной величины где Q — случайная точка с плотностью Так как для существования дисперсии DZ необходимо и достаточно, чтобы существовал второй момент

то условием применимости оценок погрешности § 1 в рассматриваемом случае служит существование интеграла (18).

Если через обозначить множество функций для которых интеграл (18) сходится, то требование сходимости этого интеграла можно записать в форме . В тех случаях, когда важно указать область G и плотность будем писать, что .

Итак, если , то дисперсия осредняемой величины Z в простейшем методе п. 2.1 конечна:

Рассмотрим теперь геометрический метод п. 2.2. В оценке (17) осредняются значения случайной величины Z, для которой

так что дисперсия

Сравним величины (19) и (20): если то

следовательно,

Неравенство (21) показывает, что в каком-то отношении простейший метод Монте-Карло лучше геометрического метода: при одинаковом количестве N осредняемых величин вероятная ошибка оценки (14) будет не больше, чем вероятная ошибка оценки (17). Можно сказать, что точность метода Монте-Карло зависит от дисперсии осредняемой случайной величины. И простейший метод всегда точнее геометрического.

Пример. Требуется вычислить интеграл

Оценки (14) и (16) в этом случае равны

где v — количество пар такня, что (как всегда независимые случайные числа), По формуле (19) вычислим дисперсию

По формуле (20) вычислим дисперсию