Выбор в качестве начальной плотности дельта-функции означает, что начальная точка фиксирована:
. Сократив в
, можно переписать (7) в виде
Итак, если все N траекторий
начинать с фиксированной точки
то
где индекс s имеет тот же смысл, что в (8). Конечно, формулу (9) можно вывести не прибегая к помощи дельта-функции, а рассматривая лишь траектории, начинающиеся из точки
и их плотность.
Изложенный метод, очевидно, неудобен, если нужны значения
во многих точках, ибо из каждой такой точки пришлось бы строить «свои» N траекторий. Следующие два способа позволяют исиользовать одни и те же траектории для оценки
во многих точках.
1.3.2. Средние значения по области. Обозначим через
индикатор произвольной области
Пусть
-произвольная «весовая» функция. Если в формуле (7) положить
то
Формула (11) позволяет по N траекториям вида
оценить среднее значение
с весом
по любой области В:
так как стоящий в числителе интеграл
Наличие справа величины
имеет простой смысл: суммируются
, но только по тем траекториям, для которых начальная точка
Конечно, надо иметь в виду, что если область В очень мала, то в (12) окажется очень мало слагаемых, отличных от нуля, и точность такого метода расчета будет невысокой.
Обозначим интересующую как функцию через
Метод настоящего пункта позволяет вместо значении и
в заданных точках
вычислить средние значения
по некоторым областям
содержащим соответствующие точки
Оценить погрешность такого приближения нетрудно, если по полученным значениям
можно составить себе представление о поверхности
Например, пусть вместо значения
мы вычислили среднее значение
Если
, то ошибка
приближенно равна
Оценка коэффициентов Фурье. Выберем в качестве
в (7) несколько ортонормированных
так что
Здесь
символ Кронекера:
при
Формула (7) позволяет оценить коэффициенты Фурье
функции
относительно
Если система функции выбрана достаточно разумным образом, то
и, вычислив приближенные значения
получим приближение (13) для
во всей области. 1.4.