Легко проверить, что
ортогональна ко всем
и нормирована:
Если
, то представление (31) также справедливо: в качестве
можно выбрать любую нормированную функцию, ортогональную ко всем
. Подставив (31) в (24), получим, что
С помощью последней формулы нетрудно вычислить математическое ожидание оценки (27):
Из последних двух интегралов первый равен
по лемме 1, а второй равен нулю по лемме 2. Таким образом,
что равносильно (29).
Перейдем к вычислению дисперсии:
Так как здесь
по той же лемме 1, то
откуда вытекает
неравенство, равносильное (30):
Впервые эта теорема была доказана в [34], а уточнение к ней — в [32]. Из доказательства видно, что знак равенства в (30) реализуется тогда и только тогда, когда
Это условие будет выполнено для любых функций
если объем
(
-мерный) равен нулю. Иными словами, если
только на многообразных меньшего числа измерений, чем
как, например,
и т. п.
Равенство (32) не будет выполнено для некоторых функций
если функции
линейно зависимы в какой-то области
с положительным
-мерным объемом: в этом случае
в области
с положительным
объемом, и объем
положителен.
Легко показать, что оба эти случая возможны. В самом деле, пусть G — интервал
так что В — квадрат
Если выбрать
, то
и множество
состоит из точек, расположенных на диагонали
квадрата В. Если выбрать
то легко вычислить, что
в двух четвертях
квадрата В.
Верхняя граница (30) для дисперсии
имеет простой геометрический смысл: она равна квадрату расстояния (в метрике пространства
) от функции
до линейного подпространства, определяемого функциями
Таблица 1
в формуле (27), вообще говоря, присутствуют отрицательные случайные веса (ср. пример п. 2.3); а формула со знакопеременными весами практически плоха, если число слагаемых велико. Чтобы устранить эти недостатки, надо использовать другие плотности
отличные от (28) (см. [33]). Наиболее подробно изучен случай, когда все точки
представляют собой функции от одной случайной точки
(Б. Л. Грановский [20, 21]).