2.3. Случайные интерполяционные квадратурные формулы.

Обозначим для краткости -мерную область, точки которой через и пусть . Пусть далее — множество точек Т, в которых

Определим случайные точки в G и в качестве оценки интеграла (21) рассмотрим случайную величину

Теорема 4. Если совместная плотность распределения случайных точек в В равна

то для любой функции из

Доказательство. Выберем произвольную конечную функцию из и обозначим через коэффициенты Фурье . Пусть

Если то, введя функцию получим представление

Легко проверить, что ортогональна ко всем и нормирована:

Если , то представление (31) также справедливо: в качестве можно выбрать любую нормированную функцию, ортогональную ко всем . Подставив (31) в (24), получим, что

С помощью последней формулы нетрудно вычислить математическое ожидание оценки (27):

Из последних двух интегралов первый равен по лемме 1, а второй равен нулю по лемме 2. Таким образом, что равносильно (29).

Перейдем к вычислению дисперсии:

Так как здесь по той же лемме 1, то откуда вытекает

неравенство, равносильное (30):

Впервые эта теорема была доказана в [34], а уточнение к ней — в [32]. Из доказательства видно, что знак равенства в (30) реализуется тогда и только тогда, когда

Это условие будет выполнено для любых функций если объем (-мерный) равен нулю. Иными словами, если только на многообразных меньшего числа измерений, чем как, например, и т. п.

Равенство (32) не будет выполнено для некоторых функций если функции линейно зависимы в какой-то области с положительным -мерным объемом: в этом случае в области с положительным объемом, и объем положителен.

Легко показать, что оба эти случая возможны. В самом деле, пусть G — интервал так что В — квадрат Если выбрать , то

и множество состоит из точек, расположенных на диагонали квадрата В. Если выбрать то легко вычислить, что

в двух четвертях квадрата В.

Верхняя граница (30) для дисперсии имеет простой геометрический смысл: она равна квадрату расстояния (в метрике пространства ) от функции до линейного подпространства, определяемого функциями

Пример. Рассмотрим интеграл . Пусть и заданы две ортонормированные функции: .

Обозначим через две случайные точки (вместо ) и вычислим определители, входящие в (27):

Из (27) и (29) вытекает оценка интеграла

где имеют совместную плотность распределения

Для расчета интеграла по десяти значениям подынтегральной функции запишем оценку

Дисперсия этой оценки, согласно (30), где имеет место знак равенства, есть

Уменьшение дисперсии по сравнению с простейшим методом весьма значительное.

Так как то удобно находить значения методом Неймана (п. 5.3 гл. 2): выбираем три случайных числа и проверяем условие Если оно выполнено, то Эффективность отбора Пример расчета по формуле (34) приведен в табл. 1. Результат этого расчета

Замечания. Методу п. 2.3 посвящено несколько работ [20, 31, 137]. Исследователей привлекает большая общность метода и значительное уменьшение дисперсии. Однако он имеет и свои недостатки. Во-первых, пока нет удобных и достаточно общих приемов для разыгрывания точек с плотностыо (28). Во-вторых,

Таблица 1

в формуле (27), вообще говоря, присутствуют отрицательные случайные веса (ср. пример п. 2.3); а формула со знакопеременными весами практически плоха, если число слагаемых велико. Чтобы устранить эти недостатки, надо использовать другие плотности отличные от (28) (см. [33]). Наиболее подробно изучен случай, когда все точки представляют собой функции от одной случайной точки (Б. Л. Грановский [20, 21]).