5.5. Решение дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона.

В ограниченной связной области G плоскости с простой границей рассмотрим

дифференциальное уравнение с частными производными

где - искомая функция. Уравнение (72) при называется уравнением Лапласа, а при — уравнением Пуассона.

Предположим, что на границе задана некоторая функция (часто пишут , где — длина дуги границы, отсчитываемая от какой-нибудь фиксированной точки). Требуется найти такое решение уравнения (72), которое на границе совпадает с

Задачу об отыскании решения уравнения (72), удовлетворяющего граничному условию (73), называют задачей Дирихле.

Рис. 53.

Для приближенного решения этой задачи [63, 88] выбирают на плоскости достаточно мелкую квадратную сетку с шагом h (рис. 53). Координаты узлов этой сетки пусть будут а значения для краткости обозначим Узел называют внутренним, если и он, и все четыре соседних с ним узла принадлежат в противном случае узел принадлежащей называют граничным.

Во внутреннем узле уравнение (72) заменяется разностным уравнением

которое можно переписать в виде

В граничных узлах полагают

(Значения «сносят» с ближайших точек границы ) Решение алгебраической системы (74) — (75) при приближается к решению задачи Дирихле для уравнения (72).

Если перенумеровать все узлы, принадлежащие произвольном порядке), и переписать в том же порядке уравнения (74) и (75), то получим систему вида (55)

( - количество узлов), с весьма своеобразной матрицей А: внутреннему узлу с номером а отвечает строка , в которой 4 элемента равны 1/4, а остальные — нули; граничному узлу с номером а отвечает строка все диагональные элементы . (Можно доказать, что все собственные значения такой матрицы по абсолютной величине меньше единицы.) Свободные члены этой системы равны если узел номер а внутренний, и если узел номер а граничный.

Воспользуемся методом п. 5.3. и построим метод Монте-Карло для расчета значения решения в одном заранее заданном) узле. Выберем матрицу переходов

( - символ Кронекера: при

Процесс построения цепи по такому закону оказывается очень наглядным: 1) начинаем с если узел внутренний, то с одинаковой вероятностью выбираем в качестве номер одного из соседних с ним узлов; 3) если узел граничный, то цепь останавливается:

Расчет весов вдоль такой цепи также чрезвычайно прост: пока цепь не попала на границу далее

Поэтому случайная величина (67) оказывается равной

где — номер первого выхода цепи на границу. В (76) все вычисляются по формуле и лишь последнее равно значению . Замечание. Если вместо граничных условий заданы более сложные условия, например:

та уравнения (75) наряду с будут содержать также значения в некоторых соседних узлах. И случайная цепь, попав на границу, останавливаться не будет.

Пример. Пусть - решение уравнения Лапласа в единичном квадрате удовлетворяющее граничным условиям Вычислить значение

Рис. 54.

Выберем в квадрате сетку с шагом и перенумеруем узлы так, как это указано на рис. 54. Для уравнения Лапласа формула (76) еще более упрощается: С так что С равно значению в том узле, в котором цепь попадает на границу. Возле каждого граничного узла на рис. 54 проставлено значение g для нашего примера. 1

Для построения цепей воспользуемся таблицей случайных цифр, приведенной на стр. 295. Если случайная цифра окажется 0 или 4, то будем перемещаться в соседний узел справа; если в равно 1 или 5, то будем перемещаться влево; если равно 2 или 6, то перемещаемся вверх; если равно 3 или 7, то перемещаемся вниз; значения , равные 8 или 9, опускаем.

Таблица 3

В табл. 3 приведены 16 случайных цепей. В первой строке записаны использованные случайные цифры, во второй — схематически указано направление перемещения, а в третьей — сама цепь (номера ). Соответствующие этим цепям значения С равны Среднее арифметическое этих величин дает нам приближенное значение решения в точке (1/2, 1/2):

Из эмпирической оценки дисперсии

следует, что вероятная ошибка .

Точное решение рассмотренной задачи так что и и фактическая ошибка расчета равна 0,08.

Метод настоящего пункта позволяет вычислять решения разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения. Связь таких задач с блужданиями по сетке была впервые установлена в [113]. В § 3 гл. 8 указан метод Монте-Карло для решения задачи Дирихле, не связанный с разностными уравнениями.