§ 3. Использование статистических весов

В гл. 5 мы встречались с величинами или которые называли весами. Однако при решении многих физических задач веса можно вводить, руководствуясь чисто физическими соображениями, отправляясь при этом от естественного процесса и не пользуясь макроскопическими уравнениями (например, уравнением переноса). Нередко использование весов заметно повышает эффективность расчета.

Мы рассмотрим несколько способов введения весов на примере задачи о поглощении нейтронов

3.1. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения.

Предположим, что из источника в направлении вылетел не один нейтрон, а «пакет», состоящий из большого числа идентичных нейтронов. Разыграв длину пробега определим точку столкновения для всего пакета . В среднем при таком столкновении нейтронов поглощаются, а нейтронов рассеиваются. Поэтому, разыграв (в соответствии с индикатрисой рассеяния) новое направление движения пакета будем считать, что в этом направлении движется пакет, состоящий из

нейтронов.

Правила построения траектории оказываются во многом такими же, как в п. 1.1: так же разыгрываются пробеги функции распределения которых в соответствии с (6) равны

так же разыгрываются направления Однако при столкновении в точке «судьба» нейтрона не разыгрывается: вместо этого предполагается, что нейтронов из пакета поглотились, а в рассеянном пакете остаются лишь

нейтронов. История пакета заканчивается тогда, когда

он вылетает из области . Количество поглощенных за всю историю нейтронов равно

где - номер последней точки траектории внутри (другими словами, ).

Наконец, нетрудно заметить, что величины (15) и (16) пропорциональны Поэтому, несмотря на рассуждения о «большом количестве» можем считать, что

Тогда величина - количество поглощений в расчете на один испущенный нейтрон — окажется оценкой искомой вероятности: (Формальное доказательство имеется в § 4).

Для приближенного расчета нужно реализовать достаточно большое число N траекторий указанного вида и положить

где - значение полученое на траектории номер 5.

Докажем теперь, что оценка всегда не хуже оценки используемой при имитации поведения нейтронов (п. 1.1):

Согласно лемме п. 1.1. для этого достаточно доказать, что

Введем для краткости обозначение

Из формул (15), (16) и (17) вытекает, что при

Последнее выражение легко преобразовать к виду

откуда сразу следует требуемое неравенство.

3.1.1. В большинстве реальных задач дисперсия заметно меньше, чем однако общих оценок на этот счет мало. Обратимся к частному случаю — однородной области когда

Обозначим через вероятность того, что траектория пакета закончится в точке с номером или, другими словами, Вычислять эти вероятности нам не потребуется Заметим только, что равно вероятности того, что нейтрон, испущенный источником, вылетит из области не испытав ни одного столкновения.

Теорема 2. Рассмотрим задачу о поглощении нейтронов в однородной области (п. 1.1). Если

то имеет место неравенство

Доказательство. Из формулы (21) видно, что в однородной области случайная величина может принимать только значения где . Следовательно, ее распределение задается таблицей

Математическое ожидание этой величины равно

Так как то получаем выражение

Дисперсию запишем в форме

Так как при всех , то отсюда следует, что

Входящую сюда сумму исключим с помощью формулы (24). Получим неравенство

Наконец, воспользуемся условием (22) теоремы, после чего последнее неравенство превратится в (23):