Упражнения к главе 4

1. Пусть С — конечная область в -мерном пространстве. Предположим, что дано разбиение и каждая из областей центрально симметрична с центром Пусть — случайная точка, равномерно распределенная в симметрична (относительно центра . В качестве оценки для интеграла рассмотрим симметризованную формулу

где — объем области

Доказать, что если и все ее частные производные первого и второго порядков непрерывны в G, причем для всех

и выполнено условие (11), то для дисперсии справедливо неравенство

где .

При этих же условиях оценить погрешность квадратурной формулы

Указание. Доказательства аналогичны пп. 1.2 и 1.3. 4 (Для случая и разбиения, изображенного на рис. 48, это предложение доказано Н. С. Бахваловым [11; см. также С. Хабер [128]).

2. Доказать, что математическое ожидание оценки

все узлы которой зависят от одной случайной точки равномерно распределенной в единичном кубе равно

(Б. Л. Грановский)

3. Доказать, что величина из п. 3.1 асимптотически нормальна, и вычислить главный член (37) дисперсии