3.1.3. Интегрирование по части переменных (понижение порядка интеграла).

Докажем, что если аналитически взять интеграл по некоторым из переменных, а по остальным переменным использовать тот же метод Монте-Карло, то дисперсия уменьшится [143]. Правда, в отличие от случая, рассмотренного

в п. 3.1.2, нередко бывает, что после интегрирования по некоторым из переменных получаются более сложные формулы счета и, несмотря на уменьшение дисперсии, трудоемкость возрастает.

Перейдем к точной формулировке задачи. Пусть требуется вычислить интеграл

где - совместная плотность вероятностей случайных точек

Если интеграл этот вычислять простейшим методом, то осредняемая случайная величина

Предположим, что по переменному Р мы умеем выполнить интегрирование и можем вычислить плотность точки

а также функцию

Тогда, очевидно,

и если вычислять простейшим методом этот интеграл, то придется осреднять величину

Теорема 2. Если дисперсия DZ конечна, то

Доказательство. Воспользуемся неравенством (1) на стр. 292.

Отсюда следует, что

Проинтегрировав это неравенство по Р, получим, что

или, что то же, Так как то тем самым доказано, что .

Пример. Рассмотрим интеграл

где область интегрирования В представляет собой треугольник, ограниченный прямыми (рис. 37). Интеграл этот легко вычисляется:

Рис. 37.

А. Введем случайную точку плотность которой в В. Тогда , где , а дисперсия

Так как плотность то из уравнения получим, что Следовательно, оценка интеграла равна

Б. Проинтегрируем аналитически плотность и подынтегральную функцию по у:

В этом случае функция распределения Из уравнения следует, что Так как осредняемая величина то оценка интеграла

Дисперсия в этом случае равна

В. Из первых цифр табл. 4 (стр. 295) образуем десять случайных чисел и вычислим по ним значення . Случайные числа: . Сосчитанные по ним значения:

Ошибки этих значений близки к соответствующим вероятным ошибкам