2.5. Сравнение точности оценок (38) и (11).

Для того чтобы сравнить дисперсии рассмотрим матемашческпе ожидания квадратов этих величин. Во-первых,

Используя (17) и (15) для перехода от и введя (для краткости) обозначение

запишем результат в виде

Во-вторых, из (36) и (42) видно,

Для того чтобы оценигь это выражение, запишем его в виде

где — любое число из интервала , и воспользуемся очевидным неравенством

Следовательно,

и математическое ожидание этой величины не превосходит

Теорема 6. Если траектории строятся с постоянным поглощением (т. е. во всей области G), то

Для доказательства этом теоремы воспользуемся формулами (43) и (44). Так как , то из (43) вытекает, что

Положим Тогда (44) превратится в неравенство а отсюда сразу вытекает, что .

Замечание. Вообще говоря, ряды (43) и (44) не обязаны сходиться, и дисперсии могут быть бесконечными. Условия конечности дисперсий приведены в упражнениях 2 и 3.

Теорема 6 показывает, что в конкретном случае постоянного поглощения оценка (38) для обеспечивает лучшую точность, чем (41) (при одном и том же количестве траектории). Впрочем, оценка (41) все-таки может оказаться менее трудоемкой, чем (38). Так будет, например, в случае, когда функция очень сложна (по сравнению с формулами расчета траекторий), так как для расчета необходимо вычислять во всех точках траектории а для расчета нужно лишь значение в последней точке траектории