2.2. Моделирование n-мерной непрерывной случайной точки (с произвольными координатами).

В общем случае, когда зависимы, их совместную плотность можно представить в виде произведения условных плотностей вероятностей этих величин:

Все условные плотности вероятности выражаются через совместную плотность

Рис. 21.

Приводим выражения условных плотностей в общем виде; все интегралы беру от до

Введем условные функции распределения

Теорема 4. Пусть независимые случайные числа. Совокупность случайных величин полученных при последовательном решении уравнений

имеет совместную плотность вероятностей Доказательство. Если значения фиксированы, то случайную величину с функцией распределения можно определить по формуле (4):

Тогда вероятность неравенства равна

Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка вероятность совместного выполнения неравенств равна произведению

и теорема доказана.

Представление плотности в форме произведения условных плотностей координат возможно способами. В частности, при

Разным произведениям соответствуют разные порядки разыгрывания величин и, вообще говоря, разные уравнения (12). Нижеследующий пример показывает, что иногда удачный выбор порядка позволяет упростить эти уравнения.

Если независимы, то все их условные распределения равны безусловным и порядок разыгрывания величин роли не играет: уравнения (12) превращаются в (11).

Рис. 22.

Пример. Рассмотрим случайную точку которая может принимать значения в треугольнике с плотностью

а) Выберем в качестве первой величины . Тогда

Соответствующие этим плотностям функции распределения:

Из формул (12) получаем уравнения для последовательного вычисления

б) Выберем теперь в качестве первой величины . Тогда

Соответствующие функции распределения:

Из формулы (12), используя вместо получим уравнения для последовательного вычисления

Сравним теперь оба алгоритма для расчета в первом из них для нахождения необходимо решать кубические уравнения, в то время как во втором можно использовать явные формулы

Замечание. Учащиеся часто допускают ошибку и вместо пишут соотношение Однако последнее тождество неверно! В рассмотренном примере в треугольнике а