Главная > Численные методы Монте-Карло
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.2. Случайная цепь для решения алгебраической системы.

Очевидно, все методы Монте-Карло, приведенные в § 2, применимы для оценки решений уравнения (57) и дают нам возможность оценить решение системы (55). Однако специфика уравнения (57) позволяет упростить эти методы и дать им иную интерпретацию.

Так как постоянны при , то естественно выбирать плотности также постоянными

Величины очевидно, должны быть неотрицательными и удовлетворять условиям нормировки

Правила (59) можно интерпретировать как равномерное распределение случайной точки внутри соответственно или . Можно, однако, совсем отказаться от фиксации положения этой точки и говорить только об отрезке, в котором эта точка расположена. Тогда — это вероятность того, что начальная точка траектории попадет в вероятность того, что случайная точка из перейдет в . При такой интерпретации вместо траектории случайной точки достаточно рассмотреть последовательность случайных номеров

тех отрезков в которые эта точка попадет.

Итак, для решения системы (55) мы будем строить цепь случайных номеров (61), каждый из которых может принимать значения Правила построения цепи (61):

где начальные вероятности и вероятности переходов должны удовлетворять условиям нормировки (60).

В теории вероятностей такие цепи называются цепями Маркова с конечным числом состояний [71]. Веса вдоль цепи (61) вычисляются по формуле

или по рекуррентной формуле

Формулы эти — следствие (4) и (5).

Условимся говорить, что распределение вероятностей допустимо по отношению к вектору если для тех а, для которых значение Аналогично распределение допустимо по отношению к матрице если для тех пар для которых

Как известно, из теории матриц, для того чтобы

ряд сходился для любого вектора необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А, представляющие собой корни уравнения лежали внутри единичного круга (на комплексной плоскости): при . Достаточным условием может служить неравенство

Сформулируем для системы (55) теорему, вытекающую из теоремы . Пусть бесконечная цепь строится по правилам (62), где допустимы по отношению к соответственно, и рассмотрим случайную величину

Теорема 8. Если все собственные значения матрицы по абсолютной величине меньше единицы, то математическое ожидание случайной величины равно

Повторим доказательство со стр. 177 применительно к рассматриваемому случаю. Так как

то, принимая во внимание (63), получим, что

Затем

причем существование этого математического ожидания обеспечивается условиями теоремы

Если какие-нибудь из элементов матрицы равны нулю, то обычно целесообразно выбрать соответствующие вероятности перехода (ср. п. 3.2.1 гл. 3). В противном случае, если в цепи окажется переход которому отвечает то из (63) видно, что все можно считать, что цепь, попав в останавливается: любые дальнейшие переходы значения величины не изменят.

Если матрица А содержит целую строку из нулей: , то, конечно, нельзя все соответствующие вероятности выбрать нулевыми: это противоречило бы условию (60). Тогда можно положить при , так что

1
Оглавление
email@scask.ru