2.2. Геометрическая характеристика равномерно распределенных последовательностей.

Обозначим через G произвольную -мерную область, принадлежащую а через VG — ее объем (-мерный). Обозначим через количество точек с номерами принадлежащих

Теорема (Г. Вейль). Для того чтобы последовательность точек была равномерно распределенной в необходимо и достаточно, чтобы для любой области G

Отсюда видно, что при больших N количество точек, принадлежащих G, среди точек , приблизительно пропорционально объему .

Рассмотрим случайную точку Г, равномерно распределенную в и N ее независимых реализаций Так как вероятность , то сходимость частоты попадания этих реализаций в G к вероятности попадания означает, что

Сравнение этой формулы с (10) снова показывает, что точки равномерно распределенной последовательности являются аналогами независимых реализаций случайной точки Г.

Мы уже отмечали, что не все равномерно распределенные последовательности одинаково хорошо распределены. Оценить «равномерность» распределения можно при помощи величины, называемой отклонением. Чтобы определить ее, выберем в произвольную точку Р и обозначим через ГЬ параллелепипед с диагональю ОР и со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 68).

Рис. 68.

Отклонением группы точек называется величина

Следующая теорема легко вытекает из работ Г. Вейля:

Теорема. Для того чтобы последовательность точек была равномерно распределенной в необходимо и достаточно, чтобы

Очевидно, чем быстрее убывает отношение тем более равномерно распределена последовательность .

Можно доказать, что но неясно, каков наилучший порядок роста при . В настоящее время известны лишь два класса последовательностей точек в для которых при всех

Это последовательности Холтона и -последовательности. Примеры таких последовательностей — приведены ниже в п. 2.4. Существуют ли последовательности, для которых при всех N неизвестно. Однако для точек при отклонение равно

В книге [82] изучается другая количественная характеристика расположения группы точек называемая неравномерностью . Для нее справедлива теорема, аналогичная предыдущей: для того чтобы последовательность точек была равномерно распределенной в необходимо и достаточно, чтобы

Можно доказать, что Поэтому наиболее равномерно распределенными следует считать такие последовательности, неравномерности которых при всех N ограничены. Среди известных в настоящее ьрсмя последовательностей точек в лишь -последовательности обладают этим свойством:

Для последовательностей Холтона получена только более слабая оценка: .