§ 4. Вычисление винеровских интегралов
Решения многих задач теории вероятностей, статистической и квантовой физики, теории дифференциальных уравнений могут быть выражены через так называемые континуальные интегралы [16]. Вычисление континуальных интегралов классическими методами весьма сложно, хотя некоторые «квадратурные» формулы для этого имеются [12, 123]. Методы Монте-Карло для расчета таких интегралов были, по-видимому, впервые использованы в работе И. М. Гельфанда и Н. Н. Ченцова [15].
4.1. Винеровские интегралы.
Чаще других встречаются континуальные интегралы по мере Винера, называемые обычно винеровскими интегралами:
где С — пространство всех непрерывных на отрезке функций
удовлетворяющих начальному условию
- произвольный непрерывный и ограниченный функционал, заданный на С.
При определении меры Винера здесь, как и в [16], коэффициент диффузии D полагается равным 1/4: этого всегда можно добиться изменением масштаба времени. Пусть
координата