§ 2. Неоднородные интегральные уравнения
2.1. Постановка задачи. Ряд Неймана.
Рассмотрим интегральное уравнение
которое с учетом (1) можно записать в виде
Здесь 
- искомая функция, 
- заданная функция, называемая ядром уравнения, 
- заданная функция (свободный член).
Предположим, что 
. Можно попытаться искать решение методом последовательных приближений. Пусть 
- произвольная функция из 
. Пусть далее при 
Нетрудно вычислить, что
Последовательные приближения 
сходятся при 
к решению 
уравнения (25) тогда и только тогда, когда это решение представимо в виде ряда Неймана
Условия сходимости ряда Неймана имеются, например, в [63].
В частности, если
то ряд (28) сходится в среднем:
Если, кроме того, для всех 
то ряд (28) сходится абсолютно и равномерно в В.
Лемма. Если ряд (28) сходится в среднем, то для любой функции 
из 
Доказательство. Рассмотрим разность
Из неравенства (1) на стр. 292 следует, что
когда 
Формулы (27) и (28) показывают, что вычисление 
или 2 сводится к вычислению суммы итерированных функций.
