ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ)

§ 1. Методы Монте-Карло с повышенной скоростью сходимости

1.1. Выборка по группам.

Этот хорошо известный в статистике прием ([24], стр. 218) может быть с успехом использован для уменьшения дисперсии. По идее он весьма близок к методу существенной выборки: здесь также предлагается выбирать больше точек в более «существенных» областях, однако выбор регулируется не специальной плотностью, а указанием количества точек в различных областях.

Итак, пусть требуется вычислить интеграл

Разобьем область интегрирования G на частей

и введем обозначения

Очевидно,

В области рассмотрим случайную точку с плотностью и для оценки воспользуемся

простейшим методом Монте-Карло: так как

то, выбрав N, независимых реализаций точки можем записать оценку для

Складывая такие оценки для всех 14, получим новую несмещенную оценку

Общее количество случайных точек в формуле (2) обозначим по-прежнему через N:

Заметим сразу, что оценку (2) можно считать квадратурной суммой со случайными узлами. В самом деле, обычная квадратурная формула записывается в форме

где точки принадлежащие G, называются узлами, а числа весами. Если квадратурная формула точна для функций , то .

Оценка (2) дает нам такую же приближенную формулу

причем и здесь

Предположим, что . Тогда точность простейшего метода Монте-Карло для расчета I характеризуется дисперсией оценки (14) гл. 3, которая равна

где

Найдем теперь дисперсию оценки (2). Очевидно,

и так как здесь точки при независимы, то

Легко вычислить, что

Теорема 1. Если разбиение число N фиксированы, то минимум выражения (4) при дополнительном условии (3) равен

и реализуется при

Доказательство. Согласно (6) величина равна

Используя неравенство Коши—Буняковского, получим

где справа стоит (4). Остается проверить, что при подстановке (7) в (4) получается (6).

В реальных задачах дисперсии как правило, заранее неизвестны. Известны лишь вероятности Оказывается, этого уже достаточно, чтобы выбрать обеспечивающие уменьшение дисперсии (т. е. неравенство ).

Теорема 2. Если разбиение фиксировано, то при

величина (4) не превосходит

Доказательство. Умножив (5) на и просуммировав по от 1 до получим

Далее

Следовательно,

Подставив (8) в (4), получим выражение

которое в силу предыдущего неравенства не превосходит . Таким образом теорема доказана.

Теоремы 1 и 2 доказаны в [24] для случая выборки из конечного множества. Если выполнено условие (8), то выборка называется типической.

В действительности выбирать , по формуле (7) или (8) нельзя, так как обязаны быть целыми. Обычно выбирают любые из ближайших к (7) или (8) целых чисел, лишь бы удовлетворялось условие (3).

Пример. Чтобы вычислить интеграл

с помощью N = 10 точек, разобьем (0, 1) на две равные части и выберем в всего 4 равномерно распределенные точки а в равномерно распределенных точек Тогда

Дисперсия этой оценки , где

Следовательно, в то время как дисперсия простейшего метода Значения и легко вычисляются по формулам и