ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В этой главе рассмотрены преобразования, позволяющие с помощью случайных чисел у вычислять значения любой случайной величины . Такие вычисления называют моделированием случайной величины или формированием реализаций случайной величины Впрочем, вычислители предпочитают их называть разыгрыванием величины Владение этими преобразованиями необходимо каждому, кто желает овладеть «техникой» применения методов Монте-Карло.

Автор не старался изложить здесь максимальное количество рецептов для моделирования различных величин — это сделано в специальной литературе (см. [19, 69, 111]). Упор сделан на изложение методов и их систематизацию. Впервые в основу классификации преобразований положено количество случайных чисел, используемых при расчете одного значения . Поначалу этот принцип может показаться несколько искусственным, по в полной мере его роль выяснится в гл. 7.

Некоторые из общих методов, наиболее важные с точки зрения практики, сформулированы в виде теорем. Замечания практического характера см. в п. 5.7.

§ 1. Метод обратных функций (основной прием моделирования случайных величин)

1.1. Моделирование дискретных случайных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину с распределением

где Для того чтобы вычислить значения этой величины разделим интервал на интервалы такие (рис. 14), что длина равна

Теорема 1. Случайная величина g, определенная формулой

имеет распределение вероятностей (1).

Доказательство занимает одну строку:

Рис. 14.

Для практической реализации формулы (2) удобно в накопителе ЭВМ расположить подряд значения Для того чтобы вычислить очередное значение находим очередное Затем сравниваем . Если то если то сравниваем Если то если то сравниваем и т. д.

1.1.1. Легко видеть, что в случае, когда приходится осуществить i сравнений, и лишь в случае, когда число сравнений равно Поэтому среднее число сравнений, затрачиваемых при получении одного значения равно

Так как порядок значений в (1) произволен, то выгодно расположить их в порядке убывания вероятностей, т. е. так, чтобы Тогда величина t будет минимальной (Ю. Г. Полляк [69]).

1.1.2. Расчет по формуле (2) заметно упрощается в случае, когда все значения равновероятны: . В этом случае многократные сравнения не нужны: так как — это интервал то условие равносильно условию или Вместо формулы (2) можно записать, что

1.1.3. Теорему 1 легко обобщить на случайную величину, которая может принимать бесконечную последовательность значений и имеет распределение

В этом случае числа задаются формулами, и вычисление их при каждом расчете g может оказаться весьма трудоемким. Тогда можно выбрать число чтобы сумма вероятностей была достаточно близкой к 1, и значения заготовить заранее. Вычислять по формулам придется только при а это будет достаточно редко.