§ 3. Статистическая проверка случайных чисел

Мы видели, что случайные числа, полученные любым из трех рассмотренных в § 1 методов, необходимо проверить. Рассмотрим важнейшие критерии, используемые обычно для такой проверки. Все эти критерии необходимы для случайных чисел, но о достаточности критериев можно говорить, только ограничив класс задач, которые предполагается решать с помощью проверяемых случайных чисел. Такая точка зрения будет развита в гл. 7, § 4.

3.1. Статистические критерии согласия

3.1.1. Теорема К. Пирсона.

Рассмотрим произвольную случайную величину , которая может быть одномерной или многомерной, дискретной или непрерывной. Обозначим через X множество возможных значений

Фиксируем какое-нибудь разбиение множества X на попарно непересекающихся множеств таких, что

Очевидно, .

Выберем N независимых значений величины и обозначим через v, количество значений, принадлежащих . Легко видеть, что математическое ожидание

В качестве меры отклонения «истинных» значений от «теоретических» удобно выбрать величину

Теорема. Каковы бы ни были исходная величина и разбиение (такое, что все ),

при каждом

где плотность называемая плотностью распределения степенями свободы, выражается формулой. (рис. 8)