ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Во введении уже упоминалось, что в подавляющем большинстве задач, решаемых методами Монте-Карло, вычисляют математические ожидания некоторых случайных величин. Так как чаще всего математические ожидания представляют собой обычные интегралы, то центральное положение в теории методов Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов.

В настоящей главе изложены наиболее важные и вместе с тем наиболее простые методы, знакомство с которыми необходимо каждому специалисту в области Монте-Карло. Более сложные методы, не имеющие пока значительных практических применений, но намечающие, как нам думается, основные направления развития методов вычисления интегралов, рассмотрены в гл. 4.

Впрочем, п. 1.1 гл. 4 мог бы быть отнесен к гл. 3: выборка по группам не раз использовалась в практических вычислениях. Численный пример, приведенный в конце гл. 4 (п. 3.3), относится к оценкам, рассмотренным в обеих главах.

Заметим, что почти все результаты этих глав легко обобщаются на интегралы Римана — Стилтьеса (и даже Лебега — Стилтьеса [33]). Мы, однако, всюду рассматриваем только интегрирование в смысле Римана.

§ 1. Общий метод оценки математических ожиданий

1.1. Сходимость метода.

Рассмотрим произвольную случайную величину , у которой существует математическое ожидание . (Напомним, что по определению математическое ожидание существует тогда и

только тогда, когда существует .) Чтобы оценить величину а, выберем N независимых реализаций случайной величины g и вычислим среднее арифметическое

Так как последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин, у которых существуют математические ожидания, подчиняется закону больших чисел (теорема А. Я. Хинчина [44]), то среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к математическому ожиданию: при

Таким образом, при больших N величина и оценку (1) можно использовать во всех случаях, когда существует