2.2. Геометрический метод Монте-Карло.

Предположим, что в области

В трехмерном пространстве х, у, z рассмотрим цилиндрическую область (рис. 34), а в рассмотрим случайную точку Q с плотностью . Очевидно,проекция точки Q на плоскость у представляет собой случайную

точку из п. 2.1 (с плотностью ), а третья координата Q, назовем ее , не зависит от и равномерно распределена в интервале так что ее плотность

Выберем N независимых реализаций случайной точки Q; обозначим через v количество точек, оказавшихся ниже поверхности и составим оценку

Дискретная случайная величина v подчиняется распределению Бернулли , где — вероятность того, что точка Q окажется ниже поверхности Вычислить эту вероятность нетрудно:

Так как , то из (16) вытекает, что . Сходимость следует из известной теоремы Бернулли о сходимости частот к вероятностям.

Впрочем, оценку (16) также можно представить в форме (1). Введем случайную величину Z, зависящую от точки :

Если точкам соответствуют значения , то

И поэтому утверждения о том, что вытекают также из результатов § 1. Абсолютная сходимость интеграла (12) следует из ограничения (15).

Геометрический метод представляет собой обобщение метода вычисления объема, рассмотренного во введении. В самом деле, если

область G ограничена и при , то при больших

где - объем части ограниченной сверху поверхностью — объем всей цилиндрической области