2.2. Некоторые свойства интерполяционных квадратурных формул.

Рассмотрим произвольную -мерную область G. Все функции будем считать кусочно непрерывными и принадлежащими Выберем систему ортонормированных функций так, что

Для приближенной оценки интеграла

рассмотрим квадратурную формулу

Фиксируем произвольные различные узлы и выберем веса так, чтобы эта формула была точной для функций

Полученную при таком выборе формулу (22) удобно записать в форме отношения двух определителей

где по определению

В самом деле, если в (23) подставить при то в определителе окажутся два совпадающих столбца и он обратится в нуль; в этом случае . Если же , то числитель и знаменатель в (23) совпадут, но в этом случае . Единственное ограничение применимости формулы — это требование, чтобы . Если оно выполнено, то формула точна для любых линейных комбинаций вида и поэтому представляет собой в каком-то смысле «разумную» квадратурную формулу.

Лемма 1. Пусть — любая совокупность ортонормированных функций в G. Тогда

Доказательство проведем индукцией по . При

Отсюда

и

Допустим теперь, что для определителей порядка формула (25) справедлива и интеграл равен Рассмотрим определитель порядка и разложим его по элементам первой строки:

Нетрудно заметить, что каждый из определителей в (26) есть определитель типа порядка : его столбцы образованы значениями ортонормированных функций в независимых точках. Согласно индукционному допущению

Поэтому, возведя (26) в квадрат и проинтегрировав (сперва по затем по получим

Лемма любая совокупность ортонормированных функций в G. Тогда

Доказательство. Выберем новую функцию которая также ортогональна ко всем и нормирована:

По известным правилам действий с определителями

так, что

Проинтегрировав это равенство по всем переменным и использовав лемму 1, получим, что

откуда вытекеет утверждение леммы 2.