§ 3. Поиски «универсальных» псевдослучайных чисел

В предыдущем параграфе были указаны детерминированные точки, координаты которых можно использовать в качестве псевдослучайных чисел при реализации алгоритмов Монте-Карло с конечными Однако весьма часто встречаются также алгоритмы с Рассмотрим некоторые попытки построить детерминированные псевдослучайные числа, пригодные для расчета задач с любыми Мы говорим о попытках, так как нельзя считать, что эти поиски уже закопчены: до сих пор нет последовательностей, удовлетворяющих требованиям практики (типа описанных в п. 2.4.3), да и сами эти требования не вполне четко сформулированы.

3.1. Использование бесконечномерных точек.

Такой подход к проблеме был предложен Н. Н. Ченцовым в 1961 г. [97]. На этом пути удалось указать весьма широкие классы функций зависящих от бесконечного числа переменных и такие классы последовательностей состоящих из точек бесконечномерного единичного куба

что для каждой функции класса

н порядок сходимости лучше, чем с любым . В частности, этим классам функций принадлежат любые достаточно гладкие функции , зависящие от любого конечного числа переменных Поэтому при реализации всех упомянутых в § 1 алгоритмов с можно пытаться вместо псевдослучайных чисел использовать координаты точек .

Пока известны лишь две конкретные бесконечномерные последовательности с более или менее «хорошими» свойствами. Одна из них — обобщенная -последовательность — вычисляется по формулам (15), (16), где . К сожалению, достаточно простых формул для расчета всех элементов нет.

Вторая последовательность, впервые рассмотренная в [77], называется обобщенной последовательностью Холтона. Точки этой последовательности имеют координаты

где - последовательность всех простых чисел.

Для расчета точек на практике можно задать достаточно большую таблицу простых чисел и (или) запрограммировать какой-нибудь алгоритм их нахождения (например, метод решета). Первые две точки этой последовательности:

Если мы хотим использовать точки для расчета задачи о поглощении нейтронов (гл. 6, п. 1.1), то для построения первой траектории надо вместо случайных чисел использовать значения для второй - , и т. д. Пример такого расчета имеется в [80].