ГЛАВА 1. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ

В алгоритмах Монте-Карло фигурируют значения случайных величин с различными законами распределения. Как будет доказано в гл. 2, для того чтобы вычислять значения любых таких величин, достаточно уметь находить значения какой-нибудь одной случайной величины, ибо всегда можно подобрать такую функцию от этой случайной величины, которая имеет требуемый закон распределения. Поэтому мы сначала рассмотрим вопрос о том, как получать на ЭВМ значения одной, «стандартной», случайной величины.

§ 1. Три способа получения случайных величин

1.1. Случайные числа и случайные цифры.

Как правило, в качестве стандартной выбирают непрерывную случайную величину равномерно распределенную в интервале (0,1). Напомним основные характеристики этой величины: при плотность функция распределения математическое ожидание дисперсия

Заметно реже в качестве стандартной используют дискретную случайную величину , которая с одинаковой вероятностью может принимать 10 значений 0, 1, 2,..., 9. Распределение задается таблицей

Мы будем называть величину у случайным числом, а величину случайной цифрой. Иногда называют десятичной

случайной цифрой, чтобы отличить ее от двоичной случайной цифры — величины с распределением

Чтобы установить связь между , разложилим число в бесконечную десятичную дробь:

Последняя запись означает, что

Теорема 1. Десятичные цифры случайного числа представляют собой независимые случайные цифры. Обратно, если независимые случайные цифры, то формула (1) определяет случайное число.

Доказательство. Если величина равномерно распределена в (0, 1), то тогда и только тогда, когда

причем в (2) могут принимать любые значения 0, 1, 9. Так как длина каждого из интервалов (2) равна и интервалы эти попарно не пересекаются, то

сумма берется по всем интервалам, так что независимо пробегают значения 0, 1,..., 9.

Пусть теперь . Рассмотрим вероятность одновременного выполнения равенств Очевидно, оба эти равенства будут выполнены тогда и только тогда, когда выполнено неравенство (2), и в то же время Следовательно,

Точно так же и, таким образом,

а это означает независимость

Перейдем к доказательству обратного утверждения. Произвольное число из интервала (0, 1) запишем в форме бесконечной десятичной дроби

Если то в разложении (1) либо либо либо и т. д. Поэтому

Так как по условию теоремы все независимы, то

Легко видеть, что ибо значениями в этом случае могут быть Значит,

и теорема доказана.