3.3. Метод суперпозиции.

Допустим, что функция распределения интересующей нас случайной величины представима в виде

где все - также функции распределения, а . Из (20) при следует, что . Следовательно, можно ввести дискретную случайную величину с распределением

так что

Теорема 5. Пусть и независимые случайные числа. Если по числу разыграть значение случайной величины , а затем из уравнения определить то функция распределения равна

Доказательство. Воспользуемся теоремой о полной вероятности и вычислим функцию распределения величины построенной в теореме:

что и требовалось доказать.

Функции распределения вида (20) встречаются тогда, когда мы имеем дело со смесью случайных величин. Например, если у нас всего N деталей, среди которых деталей с функцией распределения «времени жизни» , то функция распределения

«времени жизни» для случайно выбранной детали равна

Однако представление (20) часто придумывают искусственно, чтобы облегчить процедуру разыгрывания

Метод суперпозиции был предложен Дж Батлером [110] и развит в работах [40, 58, 108, 109, 155, 156]. Возможность обобщения его на случай бесконечного числа слагаемых в (20) и на многомерные распределения очевидна.

3.3.1. Пример [110].

Случайная величина определена в интервале и имеет функцию распределения

где все .

Можко считать, что при и воспользоваться методом суперпозиции. Из теоремы 5, используя теоремы 1 и 2, получим формулу

(при левую часть неравенства полагать равной нулю).

3.3.2. Пример.

Случайная величина определена в интервале с плотностью

Если для нахождения значений величины воспользоваться методом обратных функций (4), то получим формулу

так что придется решать уравнение пятой степени.

Можно, однако, представить в виде суперпозиции плотностей

На основании теоремы 5 получим следующий явный алгоритм для вычисления значений :

Следующая модификация метода суперпозиции принадлежит Г. А. Михайлову [58].

3.3.3. Модифицированный метод суперпозиции.

Оказывается при реализации метода суперпозиции можно ограничиться одним случайным числом у.

Теорема 5. Если в условиях теоремы 5 по числу разыграть значение случайной величины , а затем определить из уравнения , где функция распределения равна

Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что , т. е. равномерно распределена в интервале . Поэтому уравнение определяет случайную величину с функцией распределения так же, как в теореме 5.

В примере п. 3.3.2 величина 0 равна (6/5) у при и 0 равна при . Для получаем формулу

которая выгоднее формулы п. 3.3.2, ибо не требует вычисления второго случайного числа.

Необходимо отметить, однако, что модифицированный метод более чувствителен качеству псевдослучайных чисел, используемых в расчете: для успеха обычного метода важно, чтобы частота попадания псевдослучайных чисел в каждый из интервалов равнялась для модифицированного метода важно также, чтобы распределение этих чисел внутри каждого было достаточно хорошим.

Модифицированному методу суперпозиции соответствует преобразование вида с разрывной функцией которую проще записать, если ввести функции обратные к

Проверим непосредственно, что эта функция удовлетворяет уравнению (8). Представим интеграл в виде суммы:

В слагаемом сделаем замену переменной тогда преобразуется в [0, 1] и

Так как тогда и только тогда, когда то

Следовательно,

Тем самым мы получили новое доказательство теоремы

Функцию можно сделать непрерывной, если использовать при нечетных k уравнение , а при четных k — уравнение

Заметим, наконец, что, в отличие от обычного метода суперпозиции, модифицированный метод не может быть так просто обобщен на случай многомерной случайной величины .