3.2. Проверка таблиц случайных цифр.

Для проверки таблицы случайных цифр М. Г. Кендалл и Б. Б. Смит предложили использовать четыре теста. В каждом из них цифры классифицируются по некоторому признаку и эмпирические частоты сравниваются с их математическими ожиданиями при помощи критерия Тесты эти: проверка частот (frequency test) — проверяется частота различных цифр в таблице; 2) проверка пар (serial lest) — проверяется частота различных двузначных чисел среди пар проверка интервалов (gap test) - проверяется частота различных интервалов между двумя последовательными нулями; 4) проверка комбинаций (poker test) - проверяется частота различных типов четверок среди четверок

Большинство последующих авторов также использовали эту систему тестов, внося, однако, в нее некоторые изменения, среди которых отметим два. Вместо проверки интервалов обычно используют проверку серий run test): цифры образуют серию если но Вместо проверки пар преверяют независимые пары

С детерминистической точки зрения (она изложена в гл. 7) проверка частот и проверка независимых пар — важнейшие необходимые тесты. Проверка серий обобщает «критерий случайности», часто используемый в статистике [24]. И только проверка комбинаций носит несколько искусственный характер. Поэтому можно рекомендовать в качестве основных использовать следующие два теста.

Первый тест (проверка частот и пар). Предположим, что количество цифр четное. Цифры разобьем на пары Обозначим через количество пар Сосчитав матрицу легко вычислить также величины

Смысл этих величин очевиден: v — количество цифр,

равных i, среди цифр количество цифр, равных i, среди цифр общее количество цифр, равных

По значениям можно сосчитать величины для нескольких проверок. Самые важные среди них (индексы N или N обычно не пишут):

с 9 степенями свободы, соответствующая проверке частот, и

с 99 степенями свободы, соответствующая проверке пар. Кроме того, иногда вычисляют величины

каждая с 9 степенями свободы; эти величины соответствуют проверке частот среди цифр с нечетными и четными номерами.

Используют также критерий независимости строк и столбцов матрицы у, которому соответствует величина

с 81 степенью свободы [44] Впрочем, последний критерий на практике оказывается весьма близким к проверке пар

Второй тест (проверка серий). Сосчитаем количества серий длины l в последовательности цифр при и пусть количество серий с (они объединяются в одну группу). Обозначим общее количество серий через Величина с степенями свободы вычисляется по формуле

где

Обозначим через К случайную длину серии, начинающейся с цифры . Очевидно, и от номера серии не зависит. Таким образом, каждая серия может с вероятностью иметь длину Количество серий длины среди серий подчиняется биномиальному распределению и

В качестве примера в табл. 2 приведено распределение по длине серий, полученных при проверке чисел в [75].

Таблица 2

По данным последних двух строк вычисляем . При этому значению соответствует .

Дополнительные тесты. В качестве дополнительных тестов следует в первую очередь рекомендовать проверку частот независимых троек затем четверок основания для такой рекомендации приведены в § 4 гл. 7. Так как количество различных троек, четверок и т. д. весьма велико , то подсчет всех типов групп имеет смысл проводить лишь для достаточно больших N. При меньших N группы можно объединять по различным признакам. Например, при упомянутой выше проверке комбинаций четверки классифицируются по количеству совпадающих цифр в группе (признак, напоминающий комбинации при игре в покер).

Во многих работах предлагаются различные дополнительные тесты. Имеет место даже чрезмерное увлечение такими тестами. Несмотря на справедливость принципа «каши маслом не испортишь», надо четко представлять себе, что все такие тесты только необходимы. Положительный результат любого теста означает только, что этот результат не противоречит гипотезе

о случайности цифр но, может быть, какой-нибудь другой тест эту гипотезу опровергнет....