2.6. Использование сопряженного уравнения.

Нетрудно убедиться, что вместо того, чтобы вычислять функционал от решения уравнения

можно решать сопряженную задачу: вычислять функционал от решения и уравнения

где . В самом деле, умножив скалярно (45) на а (46) на 2, получим

Так как то из этих соотношений вытекает, что .

Уравнения (45) и (46) мы будем называть сопряженными.

Если плотности , по которым строятся траектории Т (п. 2.4), допустимы по отношению к (соответственно), то, согласно п. 2.4, можно рассмотреть случайную величину

где веса Нетрудно доказать, что если условия теоремы 4 выполнены, то математическое ожидание равно

Следовательно, при больших

где - это значение на s-й траектории.

Интересно, что даже в случае уравнения (45) с симметричным ядром, когда оценки (36) и (47) представляют собой различные оценки для функционала

Очевидно, различие в объеме работы, затрачиваемой на расчет этих оценок: для расчета надо один раз вычислить и много раз , а для расчета

- наоборот, один раз вычислить и много раз .

Некоторые задачи сводятся к уравнению (45) с дельта-функцией: («источник» расположен в точке и имеет «интенсивность» ). В таких задачах величина

для расчета практически бесполезна. В то же время величину можно с успехом использовать, если положить п. 1.3.1) строить траектории Т с фиксированной начальной точкой Получим величину

для которой