§ 4. Интегралы, зависящие от параметра

4.1. Использование зависимых испытаний.

Предположим, что требуется приближенно вычислить значение интеграла

при нескольких значениях действительного параметра , например Если при каждом из этих I условие применимости простейшего метода Монте-Карло выполнено

то можно записать оценку для :

где случайные точки с плотностью

Оценка (41) справедлива при каждом из интересующих нас значений . Если функция непрерывно зависит от , то и будет непрерывной функцией от . Вычислив мы, конечно получим значения, отличные от эти значения будут расположены на гладкой кривой. Если N достаточно велико, то кривая окажется достаточно близкой к и по значениям можно будет даже оценить производную (если она существует)

Несколько неожиданным может показаться утверждение, что результаты п. 1.2 не дают достаточного основания для применения оценки (41). В самом деле, из (4) следует, что вероятность неравенства

приблизительно равна (если N достаточно велико). Это справедливо при каждом Но нельзя утверждать, что вероятность одновременного выполнения нескольких неравенств (42) при тоже равна

Формула (4) позволяет оценить все ошибки если для каждого вычислять независимым испытаниям, т. е. считать, что

где при независимые случайные точки с плотностью Однако в этом случае приближенные значения интеграла даже при очень близких могут различаться между собой на величину порядка и результаты расчета не дают верного представления о разностях . (Кроме того, при таком расчете приходится вычислять в 5 раз больше случайных точек.)

Пример. Вычислить

для

Таблица 2

По формуле

проведены два расчета, результаты которых даны в табл. 2 и на рис. 43.

Рис. 43.

В первом случае для расчета всех использовались одни и те же приведенные на стр. 108; соответствующие результаты обозначены кружками: 0°. Во втором случае для расчета каждого использовались новые случайные числа (образованные из пятерок цифр таблицы на стр. 295, которые выбирались подряд); соответствующие результаты обозначены крестиками:

На рис. 43 отчетливо видно, что значения 0° расположены на гладкой кривой, сходной с (непрерывная линия), а значения разбросаны около . В табл. 2 приведены также вероятные ошибки

Значение невелико, и нельзя быть уверенным в том, что распределение достаточно близко к нормальному. Поэтому интересно отметить, что все ошибки по порядку равны

На протяжении многих лет метод (41) неоднократно и с успехом использовался в самых различных расчетах, по строгое обоснование его было впервые опубликовано лишь в 1962 году А. С. Фроловыми Н. Н. Ченцовым [92]. Этому же вопросу посвящены работы [67, 78, 84]. В дальнейшем изложении мы следуем статье [78].