1.4. Случайные траектории с поглощением.

Траектории типа далеко не единственный способ вычисления итераций методом Монте-Карло. Зададим произвольную

функцию удовлетворяющую в G условию

Пусть , а плотности — такие же, как в п. 1.2.

Определим в G траектории случайной длины

по следующим правилам:

а) точка выбирается в соответствии с плотностью

б) в точке траектория с вероятностью заканчивается и с вероятностью продолжается;

в) если траектория не заканчивается, то точка выбирается в соответствии с плотностью .

Естественно назвать вероятностью поглощения случайной точки в точке Р и -вероятностью рассеяния этой точки.

Вероятность получить -звенную траекторию с соответствующими вершинами, расположенными в окрестностях точек равна произведению

Введем обозначение

тогда вероятность получить -звенную траекторию равна

Запишем также условную плотность вероятностей траектории при условии, что

Вдоль траектории рассмотрим функции (веса), определенные (для ) рекуррентной формулой

Сравнивая (16) с (5), легко заметить, что

Обозначим через случайную величину

Теорема 2. Если условия, перечисленные в начале п. 1.2, выполнены, то условное математическое ожидание величины равно

Доказательство. По определению

Теорема 2 позволяет сформулировать метод Монте-Карло для расчета с помощью траекторий . В самом деле, реализовав таких траекторий, получим среди них траекторий, состоящих из i звеньев. Очевидно,

А из (19) вытекает, что

где значение на траектории (из числа -звенных траекторий). Заметим, что последнюю формулу можно заменить формулой