§ 4. Однородные интегральные уравнения

4.1. Расчет первого собственного значения и первой собственной функции.

Рассмотрим интегральное уравнение

где — действительный параметр. Это же уравнение с учетом (1) можно записать в виде

Если при некотором уравнение (53) имеет решение то это значение называется собственным значением уравнения собственной функцией, соответствующей этому собственному значению . Собственные функции будем считать нормированными так, что

Предположим, что наименьшее по абсолютной величине собственное значение уравнения (53) положительно и соответствующая собственная функция внутри

При весьма широких предположениях относительно ядра для приближенного расчета и можно воспользоваться методом Келлога [10, 63]: каковы бы ни были положительные внутри G функции отношения стремятся к

а нормированные итерации в каждой точке стремятся к собственной функции

Расчет величин можно осуществлять методами Монте-Карло, рассмотренными в § 1. Заметим, что траектории позволяют одновременно вычислить все при

Скалярным произведением на практике пользуются редко: по значениям можно получить приближенный рельеф функции , а нормировку осуществить отдельно.

Все вышеупомянутые предположения выполнены, например, в случае, когда ядро симметрично и положительно определено: при (конечно, предполагается также, что

Для того чтобы пояснить сущность метода Келлога, рассмотрим случай (весьма важный), когда все собственные значения уравнения (53) суть

а соответствующие им собственные функции образуют полную ортонормированную систему (символ Кронекера). Пусть неотрицательная функция равна

где, очевидно, Из этого разложения следует, что

Запишем скалярные произведения, фигурирующие в методе Келлога:

и выделим главные члены в интересующих нас величинах:

Отсюда видно, что сходимость будет хорошей, если и плохой, если близко к . Положительность вообще говоря, не нужна: нужно лишь, чтобы

Заметим, что если выбрать так, что , но , то