1.2. Вычисление линейных функционалов от итерированных функций.

Предположим, что в области G заданы функции и требуется вычислить интегралы для

Выберем в G произвольную плотность вероятностей допустимую по отношению к (см. гл. 3, п. 3.2), и произвольную условную плотность вероятностей допустимую по отношению к ядру . Условия нормировки

Определим в G случайную траекторию Г (рис. 50)

где точка имеет плотность , а плотпость точки при известном значении равна .

Рис. 49.

Рис. 50.

Функцию часто называют плотностью вероятностей перехода из точки Р в точку Р' и обозначают

а функцию называют начальной плотностью. Траекторию можно интерпретировать как точку в . Плотность вероятностей этой точки равна

Функцию (3) называют плотностью траектории

Введем в рассмотрение функции от траектории, называемые обычно весами:

которые определены при . Для положим тогда справедлива рекуррентная формула

которая позволяет последовательно вычислять все по мере расчета траектории.

Обозначим через случайную величину

Теорема 1. Если условия, перечисленные в начале пункта, выполнены, то математическое ожидание величины равно

Для доказательства теоремы вычислим это мамематическое ожидание:

Приняв во внимание соотношения (3), (4) и (6), получим

Доказательство теоремы нуждается в одном уточнении. Плотности и (или) могут обращаться в нуль в тех точках, в которых и обращаются в нуль. В таких точках формулы (4), (5) и (6) не определены. Можно доопределить в этих точках полагая их равными нулю. На значение интеграла это не повлияет, ибо если произведение равно нулю в некоторой области то произведение также равно нулю в В и интеграл по области В равен нулю. В дальнейшем мы оговаривать доопределение соответствующих величии не будем, так как это всегда может быть осуществлено таким же образом.

Теорема 1 позволяет построить метод Монте-Карло для расчета величин . В самом деле, если по указанным правилам построить N траекторий вида и для каждой из них вычислить то при достаточно большом

где значение сосчитанное для траектории. Так как часть траектории при представляет собой траекторию того же типа , то по тем же точкам можно вычислить и оценить для

Если требуется вычислить несколько скалярных произведений с различными функциями это можно осуществить с помощью одних и тех же траекторий так как закон построения траекторий зависит только от , но не от и если выбрать положительную плотность то она будет допустимой по отношению к любой