2.3. Ускорение сходимости.

Формула (9) справедлива для всех интегрируемых по Риману функций Если рассмотреть более узкие классы функций, то возможны оценки погрешности этой формулы. Например, неравенство

где ни от N, ни от точек не зависит, справедливо для любых и для всех функций которые непрерывны и ограничены в вместе со своими частными производными, содержащими более одного дифференцирования по каждой переменной. (Все эти производные можно записать формулой где и k может принимать значения . Старшая среди этих производных, .

В случае доказательство неравенства (14) аналогично доказательству теоремы 5 гл 3. В самом деле, пусть . Тогда, полагая в (46) стр. получим, что каковы бы ни были точки из интервала (0,1)

Однако алгоритмы Монте-Карло весьма часто приводят к разрывным функциям Ф. Поэтому важно отметить, что оценка (14) справедлива для гораздо более широких классов функций (Э. Хлавка [138], И. М. Соболь [82]). Например, если все разрывы функции расположены на конечном числе гиперплоскостей вида (т. е. параллельных координатным гиперплоскостям), а в остальных точках куба функция Ф и все вышеупомянутые производные непрерывны и ограничены, то неравенство (14) выполнено.

Интересно, что разрывы, возникающие при моделировании дискретных случайных величин и при использовании метода суперпозиции (гл. 2, п. 3.3) как раз такого типа. Напротив, при использовании метода Нейман?

(гл. 2, п. 5.3) возникают разрывы, которые не обязаны располагаться в гиперплоскостях, параллельных координатным.

Пример Снова предположим, что вычисляется интеграл (8), а случайная величина моделируется методом суперпозиции:

- обратная функция но отношению к . В этом случае

так что вообще говоря, имеет разрывы при

В этом же случае метод Неймана (см. пример п. 1.2) приводит к функции которая разрывна при

Если в (14) подставить или то в соответствии с (12) правая часть окажется порядка Так как при всех достаточно больших N справедливо неравенство (при любых фиксированных то можно сказать, что погрешность (14) убывает быстрее, чем с любым . Напомним, что порядок погрешности формулы (7) с «настоящими» случайными точками равен т. е. заметно хуже.

Численный пример, сосчитанный с помощью точек имеется в гл. 5, п. 4.4.1. См, также [13а].

Заметим, что порядок сходимости формулы (9) не может быть даже на весьма узких классах функций (см. упражнение 5 на стр. 278).