3.3. Асимптотически вполне равномерно распределенные последовательности чисел.

Рассмотрим семейство последовательностей зависящее от натурального параметра

Семейство (23) естественно назвать асимптотически вполне равномерно распределенным, если для любой функции интегрируемой по Риману в при любом натуральном справедливо равенство

или равенство

Термин этот введен И. Франклином в 1963 г. [126]. Ему же принадлежит второе утверждение следующей теоремы, первое утверждение которой доказано в [83].

Теорема. Существует бесконечно много чисел а, таких, что семейство последовательностей

асимптотически вполне равномерно распределено как в смысле (24), так и в смысле (25).

Рис. 69.

Интересно отметить, что при каждом фиксированном g последовательность может быть равномерно распределенной в но точки не могут быть равномерно распределенными в . В самом деле, точки можно записать в виде Отсюда видно, что все они расположены на линии которая состоит из g отрезков прямых при

(рис. 69). Тем более последовательность не может быть вполне равномерно распределенной.

Сформулированная теорема в какой-то мере объясняет, почему метод сравнений (п. 2.2.2 гл. 1) позволяет строить «хорошие» псевдослучайные числа и почему приходится выбирать - большие g: из (7) гл. 1 вытекает, что Однако никаких выводов о том, как выбирать «хорошие» отсюда сделать нельзя.

Как доказал С. М. Ермаков [33], скорость сходимости в формуле (24) (но не в ) связана с